试题： 如图①，若二次函数y=
x2+bx+c的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，点A关于正比例函数y=
x的图象的对称点为C．
（1）求b、c的值；
（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；
（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y=
x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y=
x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
求二次函数的解析式及二次函数的应用
答案：
（1）∵点A（-2，0），B（3，0）在抛物线y=
x2+bx+c上，
∴
，
解得：b=-
，c=-
．（2）设点F在直线y=
x上，且F（2，2
）．
如答图1所示，过点F作FH⊥x轴于点H，则FH=2
，OH=2，
∴tan∠FOB=
=
，∴∠FOB=60°．
∴∠AOE=∠FOB=60°．
连接OC，过点C作CK⊥x轴于点K．
∵点A、C关于y=
x对称，∴OC=OA=2，∠COE=∠AOE=60°．
∴∠COK=180°-∠AOE-∠COE=60°．
在Rt△COK中，CK=OC•sin60°=2×
=
，OK=OC•cos60°=2×
=1．
∴C（1，-
）．
抛物线的解析式为：y=
x2-
x-
，当x=1时，y=-
，
∴点C在所求二次函数的图象上．（3）假设存在．
如答图1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：AC=
=
=2
．
如答图2所示，∵OB=3，∴BD=3
，AB=OA+OB=5．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=
=
=2
．
∵点A、C关于y=
x对称，
∴CD=AD=2
，∠DAC=∠DCA，AE=CE=
AC=
．
连接PQ、PE，QE，则∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE．
在四边形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°（四边形内角和等于360°），
即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°，
∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°．
又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°（三角形内角和定理），
∴∠AEP=∠CQE．
在△APE与△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，
∴△APE∽△CEQ，
∴
=
，即：
=
，
整理得：2t2-4
t+3=0，
解得：t=
或t=
（t＜
，所以舍去）
∴存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC，此时t=
．
