如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的

试题： 如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C₁：y=

1

4

x2于点A、B，交抛物线C₂：y=

1

9

x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．
【猜想与证明】
填表：

m	1	2	3
AB CD

由上表猜想：对任意m（m＞0）均有

AB

CD

=______．请证明你的猜想．
【探究与应用】
（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为______；
（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；
【联想与拓展】
如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C₂于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C₁于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为______．


求二次函数的解析式及二次函数的应用

答案：

猜想与证明：
当m=1时，1=

1

4

x2，1=

1

9

x2，
∴x=±2，x=±3，
∴AB=4，CD=6，
∴

AB

CD

=

2

3

；
当m=2时，4=

1

4

x2，4=

1

9

x2，
∴x=±4，x=±6，
∴AB=8，CD=12，
∴

AB

CD

=

2

3

；
当m=3时，9=

1

4

x2，9=

1

9

x2，
∴x=±6，x=±9，
∴AB=12，CD=18，
∴

AB

CD

=

2

3

；
∴填表为

m	1	2	3
AB CD	2 3	2 3	2 3

对任意m（m＞0）均有

AB

CD

=

2

3

．
理由：将y=m2（m＞0）代入y=

1

4

x2，得x=±2m，
∴A（-2m，m2），B（2m，m2），
∴AB=4m．
将y=m2（m＞0）代入y=

1

9

x2，得x=±3m，
∴C（-3m，m2），D（3m，m2），
∴CD=6m．
∴

AB

CD

=

4m

6m

=

2

3

，
∴对任意m（m＞0）均有

AB

CD

=

2

3

；探究与运用：
（1）∵O、Q关于直线CD对称，
∴PQ=OP．
∵CD∥x轴，
∴∠DPQ=∠DPO=90°．
∴△AOB与△CQD的高相等．
∵

AB

CD

=

2

3

，
∴AB=

2

3

CD．
∵S_△AOB=

1

2

AB•PO，S_△CQD=

1

2

CD•PQ，
∴

S△AOB

S△CQD

=

1 2 AB•PO

1 2 CD•PQ

=

2

3

，
（2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图3，
∴PO=PB=m2，AB=2OP
∴m2=

1

4

m4，
∴4m2=m4，
∴m₁=0，m₂=-2，m₃=2．
∵m＞0，


∴m=2，
∴OP=4，AB=8，
∴PD=6，CD=12．
∴S_△AOB=

1

2

×8×4=16
∴S_△CQD=

1

2

×12×4=24，
∴S_△CQD-S_△AOB=24-16=8．
当△CQD是等腰直角三角形时，如图4，
∴PQ=PO=PD=m2，CD=2QP
∴m2=

1

9

m4，


∴9m2=m4，
∴m₁=0，m₂=-3，m₃=3．
∵m＞0，
∴m=3，
∴OP=6，AB=12，
∴PQ=9，CD=18．
∴S_△AOB=

1

2

×9×12=54
∴S_△CQD=

1

2

×9×18=81，
∴S_△CQD-S_△AOB=81-54=27；联想与拓展
由猜想与证明可以得知A（-2m，m2），D（3m，m2），
∵AE∥y轴，DF∥y轴，
∴E点的横坐标为-2m，F点的横坐标为3m，
∴y=

1

9

（-2m）2，y=

1

4

（3m）2，
∴y=

4

9

m2，y=

9

4

m2，
∴E（-2m，

4

9

m2），F（3m，

9

4

m2），
∴AE=m2-

4

9

m2=

5

9

m2，DF=

9

4

m2-m2=

5

4

m2．
S_△AEM=

1

2

×

5

9

m2•2m=

5

9

m3，
S_△DFM=

1

2

×

5

4

m2•3m=

15

8

m3．
∴

S△AEM

S△DFM

=

5 9 m3

15 8 m3

=

8

27

．
故答案为：

2

3

；

2

3

；

8

27

．