如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
二次函数的最大值和最小值
答案：
（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP=AQ；
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°；
∴∠DEF=∠EQC；
∴CE=CQ；
由题意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ=t；
∴AQ=8-t；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；
则AP=10-2t；
∴10-2t=8-t；
解得：t=2；
答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）过P作PM⊥BE，交BE于M
∴∠BMP=90°；
在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB=
| AC |
| AB |
| PM |
| BP |
∴
| PM |
| 2t |
| 8 |
| 10 |
∴PM=
| 8 |
| 5 |
∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6-t；
∴y=S△ABC-S△BPE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 8 |
| 5 |
=
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 84 |
| 5 |
∵a=
| 4 |
| 5 |
∴抛物线开口向上；
∴当t=3时，y最小=
| 84 |
| 5 |
答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为
| 84 |
| 5 |
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；
过P作PN⊥AC，交AC于N
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；
∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC；
∴
| PN |
| BC |
| AP |
| AB |
| AN |
| AC |
∴
| PN |
| 6 |
| 10-2t |
| 10 |
| AN |
| 8 |
∴PN=6-
| 6 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=8-t-（8-
| 8 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一条直线上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP；
∴
| PN |
| FC |
| NQ |
| CQ |
6-
| ||
| 9-t |
| ||
| t |
∵0＜t＜4.5，∴
6-
| ||
| 9-t |
| 3 |
| 5 |
解得：t=1；
答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．
