已知直线经过椭圆C： 的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线  ：  分别交于M，N两点，如图所示。 |
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| （1）求椭圆C的方程； （2）求线段MN的长度的最小值； （3）当线段MN的长度的最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为  ？若存在，确定点T的个数，若不存在，请说明理由。 |
答案：
解：（1）由题意，得椭圆方程为 。 （2）设直线AS的方程为  ， 从而可知M点的坐标为  ， 由  ，得  ， 所以可得BS的方程为  ， 从而可知N点的坐标为  ， ∴  ，当且仅当  时，等号成立， 故当  时，线段MN的长度取最小值  。 （3）由（2）知，当|MN|取最小值时，  ， 此时直线BS的方程为  ，  ， ∴|BS|=  ， 要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于  ，只需T到直线BS的距离等于  ， 所以点T在平行于直线BS且与直线BS的距离等于  的直线  上。  则直线  ：  或  ， 联立，  ，△<0，无解；  ，△=44>0，有两个解； 所以T有两个。 |
