如图，已知点 是离心率为  的椭圆  ：   上的一点，斜率为  的直线  交椭圆 于  ，  两点，且  、 、 三点互不重合．  （1）求椭圆 的方程；（2）求证：直线  ，  的斜率之和为定值． |
答案：
（1） ；（2）详见解析 |
试题分析：（1）根据题意及 列方程组可得  的值。即可得此椭圆方程。（2）设出  的坐标及直线 的方程与椭圆方程联立消掉  可得关于  的方程，根据题意可知判别式应大于0，根据韦达定理可得此方程的两根之和与两根之积。即点 横坐标间的关系，代入直线方程，可得点 纵坐标之间的关系。然后根据斜率公式可得斜率之和，将其化简问题即可得证。试题解析：由题意，可得  ，代入  得  ，又 ， 2分解得  ，  ，  ，所以椭圆 的方程 . 5分(2)证明：设直线 的方程为  ，又  三点不重合，∴  ，设  ，  ，由  得  所以     ①  ② 8分设直线 ， 的斜率分别为  ，  ，则    (*) 10分将①、②式代入(*)，整理得   ，所以  ，即直线  的斜率之和为定值  . 12分 |
