已知椭圆  的离心率为  ，过  的左焦点  的直线  被圆  截得的弦长为  .（1）求椭圆 的方程；（2）设 的右焦点为  ，在圆  上是否存在点  ，满足  ,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由. |
答案：
（1） ；（2）存在. |
| 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，点到直线的距离公式、垂径定理、两圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的左焦点坐标、离心率联立得到椭圆的基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先利用点 到直线  的距离公式计算出点到直线的距离，再利用垂径定理求出圆 的半径，从而得到圆 的具体方程，假设圆 上存在点P满足条件，利用两点间距离公式列出方程，经整理得到一个新的圆，利用2个圆心的距离和半径的关系判断出2个圆相交，所以说明存在两个不同的点P.试题解析：因为直线 的方程为 ，令  ，得  ，即  1分∴  ，又∵  ，∴  ，  ∴ 椭圆 的方程为 . ４分（2）存在点P，满足 ∵ 圆心  到直线 的距离为  ，又直线 被圆  截得的弦长为 ，∴由垂径定理得  ，故圆 的方程为  . ８分设圆 上存在点  ，满足 即  ，且  的坐标为  ，则  ， 整理得  ，它表示圆心在  ，半径是  的圆。∴  １２分故有  ，即圆  与圆 相交，有两个公共点。∴圆 上存在两个不同点 ，满足 . １４分 |
