如图，AB为抛物线y=x2上的动弦，且|AB|=a（a为常数且a≥1），求弦AB的中点M与

试题：

如图，AB为抛物线y=x2上的动弦，且|AB|=a（a为常数且a≥1），求弦AB的中点M与x轴的最短距离．

抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

答案：

设A、M、B三点的纵坐标分别为y1、y2、y3， 如图， A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′． F为抛物线的焦点．连接AA′，MM′，BB′，AF，BF． 由抛物线的定义可知：|AF|=|AA′|=y1+ p 2 =y1+ 1 4 ，|BF|=y3+ 1 4 ． ∴y1=|AF|- 1 4 ，y3=|BF|- 1 4 ． 又M是线段AB的中点，∴y2= 1 2 (y1+y3)= 1 2 (|AF|+|BF|- 1 2 )≥ 1 2 (|AB|- 1 2 )= 1 2 (a- 1 2 )． 当且仅当AB过焦点F时，等号成立． 即当定长为a的弦AB过焦点F时，弦AB的中点M与x轴的距离最小，最小值为 1 2 (a- 1 2 )．