2015考研数学考试分析之寻根究底篇

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学了这么多年的数学，估计各位考生都有所体会：学数学，每个知识点都需要透彻理解，不然就会影响后续课程的学习，影响考试成绩。所以理想的状态应该是把每个考点弄清想透，这样就能轻松应对考试了。但现实中有太多约束条件了，如每位考生情况各异——个人禀赋、基础、方法各不相同，如考点中有“难点”、“重点”和“常考点”。所以理想状态很难达到。如何应对?一方面考生结合自身情况尽可能地对考纲规定的考点做透彻理解，另一方面作为奋战在教学一线的教师的我们可以结合自身经验及对考试的分析，对不少考生理解位的考点做出梳理，以期对广大学子有所帮助。

我们以“秩”这个让考生百感交集的概念为例，说明什么是“寻根究底”，再梳理考研数学中的一些需要寻根究底的考点，留待考生自己思考并补充完整。

首先要搞清楚秩是什么?线性代数中有两个秩：一个矩阵的秩，一个向量组的秩。矩阵的秩是矩阵非零子式的最高阶数。一个矩阵的秩为k意味着什么?要会“翻译”。“直接翻译”的结论是矩阵非零子式的最高阶数为k。只会“直接翻译”还不足以应对考题，还得会“间接翻译”：该矩阵存在k阶非零子式，并且该矩阵不存在k+1阶非零子式。再进一步思考：前半句话用秩的语言怎么描述?应为r(A)>=k;后半句话用秩的语言怎么描述?应为r(A)<=k。再思考：该矩阵不存在k+1阶非零子式包含几种情况?应有两种情况：1)矩阵存在k+1阶子式，但k+1阶子式全为0;2)矩阵不存在k+1阶子式(如矩阵是k阶方阵)。这样关于矩阵的秩的概念才理解到位了，但还需多做题才能达到熟练。

类似地，我们可以对“向量组的秩”这个概念做层层剖析。首先，向量组的秩是向量组的极大线性无关组所含向量的个数。什么是极大线性无关组?顾名思义即个数最多的线性无关的子向量组。但是严格的数学定义必不可少。这个地方提到一个问题：有同学对于比较抽象的概念比较头疼，试图抛开严格的数学表述，而通过举例子等方式理解，这样可以吗?不行。举例子确实有助于理解，但代替不了严格的数学表述。其实，定义理解好了，方法就是自然而然的了。考生可以思考相关问题：如极大无关组是否唯一?如果不唯一，那它们是什么关系?

还可以继续思考矩阵的秩和向量组的秩的关系。任给一个矩阵A，矩阵可以按列分块，也可以按行分块，这样我们可以得到三个秩——矩阵的秩，矩阵的列向量组的秩和矩阵的行向量组的秩。这三个秩是什么关系?结论是相等。这个结论不需要证明，会用即可。

下表供考生思考并补充完整。

跨考教育  高数教研室  刘纬宇