谈论考研数学极限

在英文里，limit（极限）通常指一条不能超越的边界或界限。在数学里，当函数的x逐渐趋近某个定值时，该函数的值也会逐渐趋近某个值，这个值就是函数的“极限”。

再举一个例子，如果你有一尺长的金条，每个上你家来的人你都要把手里剩下的金条的1/2分给他，当然先来的人占便宜，分到的金条比后来的人多啊。如果全中国13亿人都上你家来，你想想，最后你手里的金条还能剩下多少？可能要用显微镜来看才能看到了，用数学的话说，当到你家来的人数n趋于无穷大时，你手里的金条长度趋于0.

写成数列的形式就是： ，取极限。

另外一个例子，假设你让鼻子向电风扇靠拢过去，可以设你的鼻尖位置在x，电风扇的位置在3（即分别离原点x米和3米），我们想知道，当x非常接近3时，会发生什么事——也就是说，当你的鼻尖朝3靠近，而且越来越靠近，但绝对不要真正到达3，这样后果很严重。会发生的事只是，当你的鼻尖的位置x离3越来越近，电风扇吹到你脸上的风越来越强。所以我们的兴趣在于，当你的鼻子接近3时，你感受到的风的强度变化（我们要取，其中的f（x）就是你的鼻子在点x时，所感受到的风的强度）。

假设当x＝2.9，你感受到的风速是6公里/小时，那么当鼻子向风扇移近，风速如下表变化：

从这些数据来看，鼻子逐渐靠近风扇时，风速就会逐渐趋近于7公里/小时，因此我们可以写成    ＝7。这个值和x＝3时的f（x）的值无关，只取决于x趋于3的那些函数值（谁也不想看到x＝3时你的鼻子的惨状）。

对大多数函数来说，取极限的过程很平常，比如像多项式，在x趋于a时的极限就是，直接把a带入x就可以了。

如果每个函数的极限都这么简单就好了，但我们通常会遇到一些“问题函数”。如极限：。当x逐渐靠近1时，x -1就会变得非常小，当1除以一个非常非常小的数时，得到的是一个非常非常大的数（比任何实数都要大），我们称之为无穷大，用一个睡觉的8表示：∞。

所以当x趋近于1时，趋近于∞.不过由于∞不能算是一个真正的数，所以我们说“该极限不存在”。

除此之外，我们还会遇上其他不存在的极限，如：。当x变得越来越小，就越来越大，但永远介于-1跟1之间，因为任何一个数的正弦值都不会超出-1到1的范围。因此，当越来越大，只是在-1跟1之间来回振荡，而且越来越快，越来越疯狂，最重要的一个特点是，它不会渐渐靠近任何一个数。 所以，它没有极限。

我们可以把“有极限”这回事，想成是函数f（x）爱上了一个数，当自变量x无限靠近某一个数时，f（x）对这个数的感情就越深（趋近）。但是显然用情不专，它不愿定情于一点，永远在-1跟1之间摇摆不定，所以到最后，落到没有极限的下场，无法与谁共结连理。