【摘要】在暑期完成第一轮基础考点的复习之后，9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。本文为同学们整理了高数部分的导数与微分定理定义汇总。考研帮携手2016大纲解析人第一时间解读大纲，点击免费报名。
▶导数与微分 1、导数存在的充分必要条件 ●函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限 lim（h→-0）[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim（h→+0）[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。 2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。 3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。 4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。 ▶中值定理与导数的应用 1、定理（罗尔定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ0，那么函数f(x)在[a,b]上单调增加； （2）如果在（a,b）内f’(x)<0，那么函数f(x)在[a,b]上单调减少。 ●如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。 6、函数的极值 ●如果函数f(x)在区间（a,b）内有定义，x0是（a,b）内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x,f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。 ●在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点（导数为0的点），但函数的驻点却不一定是极值点。 ●定理（函数取得极值的必要条件）设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’(x0)=0。 ●定理（函数取得极值的第一种充分条件）设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么： （1）如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值； （2）如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值； （3）如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。 ●定理（函数取得极值的第二种充分条件）设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么： （1）当f’’(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值； （2）当f’’(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值； ●驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。 7、函数的凹凸性及其判定 设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]< [f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。 ●定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内具有一阶和二阶导数，那么 （1）若在（a,b）内f’’(x)>0，则f(x)在闭区间[a,b]上的图形是凹的； （2）若在（a,b）内f’’(x)<0，则f(x)在闭区间[a,b]上的图形是凸的。 ●判断曲线拐点（凹凸分界点）的步骤 （1）求出f’’(x)； （2）令f’’(x)=0，解出这方程在区间（a,b）内的实根； （3）对于（2）中解出的每一个实根x0，检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0，f(x0)）是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0，f(x0)）不是拐点。 ●在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。 （实习编辑：赵峰）
