1、平面向量的数量积
已知两个非零向量$boldsymbol a$与$boldsymbol b$，我们把数量$|boldsymbol a||boldsymbol b|·cos θ$叫做$boldsymbol a$与$boldsymbol b$的数量积（或内积），记作$boldsymbol a·boldsymbol b$，即$boldsymbol a·boldsymbol b$=$|boldsymbol a||boldsymbol b|·cos θ$，其中$θ$是$boldsymbol a$与$boldsymbol b$的夹角。
两个向量夹角的取值范围是$left lfloor0°，180°right rfloor$，零向量与任一向量的数量积为0。
2、数量积的几何意义
数量积$boldsymbol a·boldsymbol b$等于$boldsymbol a$的长度$|boldsymbol a|$与$boldsymbol b$在$boldsymbol a$的方向上的投影$|boldsymbol b|cos θ$的乘积。
注：①投影和两个向量的数量积都是数量，不是向量。当$θ$为锐角时投影为正值；当$θ$为钝角时投影为负值；当$θ$为直角时投影为0；当$θ=0°$时投影为$boldsymbol b$；当$θ=180°$时投影为$-|boldsymbol b|$。
②$boldsymbol b$在$boldsymbol a$方向上的投影可以记为$|boldsymbol b|cos θ$，也可记为$frac{boldsymbol a·boldsymbol b}{|boldsymbol a|}$。
二、平面向量数量积的几何意义的相关例题已知非零向量$boldsymbol a，boldsymbol b$满足$|boldsymbol a|=2|boldsymbol b|$，且$(boldsymbol a-boldsymbol b)⊥boldsymbol b$，则$boldsymbol a$与$boldsymbol b$的夹角为____
A．$frac{π}{6}$
B．$frac{π}{3}$
C．$frac{2π}{3}$
D．$frac{5π}{6}$
答案：B
解析：由$(boldsymbol a-boldsymbol b)⊥boldsymbol b$，得$(boldsymbol a-boldsymbol b)·boldsymbol b$=0，所以$boldsymbol a·boldsymbol b=boldsymbol b^2$，所以$cos left langle boldsymbol a,boldsymbol bright rangle=frac{boldsymbol a·boldsymbol b}{|boldsymbol a|·|boldsymbol b|}=frac{|b^2|}{2|boldsymbol b|^2}=frac{1}{2}$，所以$boldsymbol a$与$boldsymbol b$的夹角为$frac{π}{3}$，故选B。
