一、定积分的概念和基本思想
1、定积分的概念
一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0 （1）定积分$int_{a}^{b}f(x){rm d}x$不是一个函数式，而是一个数值（极限值），它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$int_{a}^{b}f(x){rm d}x=$$int_{a}^{b}f(t){rm d}t=$$int_{a}^{b}f(u){rm d}u$。 （2）定义中区间的分法和$ξ_i$的取法是任意的。 2、定积分的基本思想 定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的面积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。 即：分割$→$近似代替$→$求和$→$取极限。 3、定积分的性质 （1）$int_{a}^{b}1{rm d}x=b-a$； （2）$int_{a}^{b}kf(x){rm d}x=$$kint_{a}^{b}f(x){rm d}x$（其中$k$是不为0的常数）； （3）$int_{a}^{b}[f_1(x)±f_2(x)]{rm d}x=$$int_{a}^{b}f_1(x){rm d}x±$$int_{a}^{b}f_2(x){rm d}x$； （4）$int_{a}^{b}f(x){rm d}x=$$int_{a}^{c}f(x){rm d}x+$$int_{c}^{b}f(x){rm d}x$（其中$a 4、定积分的几何意义 如果在区间$[a,b]$上函数$f(x)$连续且恒有$f(x)geqslant0$，那么定积分$int_{a}^{b}f(x){rm d}x$表示由直线$x=a$，$x=b$，$y$=0和曲线$y=f(x)$所围成的曲边梯形的面积。 注：定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0。 （1）当对应的曲边梯形位于$x$轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积。 （2）当对应的曲边梯形位于$x$轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数。 （3）当位于$x$轴上方的曲边梯形的面积等于位于$x$轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0，且等于位于$x$轴上方的曲边梯形的面积减去位于$x$轴下方的曲边梯形的面积。 5、定积分的物理意义 （1）变速直线运动 如果做变速直线运动的物体的速度$v$关于时间$t$的函数是$v=v(t)(v(t)geqslant0)$，那么物体从时刻$t=a$到$t=b$所经过的路程$s=$$int_{a}^{b}v(t){rm d}x$； 如果做变速直线运动的物体的速度$v$关于时间$t$的函数是$v=v(t)(v(t)leqslant0)$，那么物体从时刻$t=a$到$t=b$所经过的路程$s=$$-int_{a}^{b}v(t){rm d}x$； （2）变力做功 物体在变力$F(x)$的作用下做直线运动，并且物体沿着与力$F(x)$相同的方向从$x=a$移动到$x=b(a 二、定积分的概念的相关例题 设$f(x)=begin{cases}sqrt{1-x^2},x∈[-1,1),x^2-1,x∈[1,2],end{cases}$则$int_{-1}^{2}f(x){rm d}x$的值为___ A．$frac{π}{2}+frac{4}{3}$ B．$frac{π}{2}+3$ C．$frac{π}{4}+frac{4}{3}$ D．$frac{π}{4}+3$ 答案：A 解析：根据定积分性质可得$int_{-1}^{2}f(x){rm d}x=$$int_{-1}^{1}sqrt{1-x^2}{rm d}x+$$int_{1}^{2}({x^2-1)rm d}x$，根据定积分的几何意义可知，$int_{-1}^{1}sqrt{1-x^2}{rm d}x$是以原点为圆心，以1为半径的圆面积的一半，∴$int_{-1}^{1}sqrt{1-x^2}{rm d}x=frac{π}{2}$，∴$int_{-1}^{2}f(x){rm d}x=$$frac{π}{2}+left(frac{1}{3}x^3-xright)Big|^2_1=$$frac{π}{2}+frac{4}{3}$，故选A。
