一、平面向量的数量积和几何意义
1、向量的夹角
已知两个非零向量$boldsymbol a$和$boldsymbol b$，作$overrightarrow{OA}=$$boldsymbol a$，$overrightarrow{OB}=$$boldsymbol b$，则$∠AOB=θ$（$0°leqslant θleqslant 180°$）叫做向量$boldsymbol a$与$boldsymbol b$的夹角。
当$θ=0°$时，向量$boldsymbol a$，$boldsymbol b$共线且同向；
当$θ=90°$时，向量$boldsymbol a$，$boldsymbol b$相互垂直，记作$boldsymbol a⊥boldsymbol b$；
当$θ=180°$时，向量$boldsymbol a$，$boldsymbol b$共线且反向。
注：（1）向量的夹角是针对非零向量定义的。
（2）只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角。
2、平面向量的数量积
已知两个非零向量$boldsymbol a$与$boldsymbol b$，我们把数量$|boldsymbol a||boldsymbol b|·cos θ$叫做$boldsymbol a$与$boldsymbol b$的数量积（或内积），记作$boldsymbol a·boldsymbol b$，即$boldsymbol a·boldsymbol b=$$|boldsymbol a||boldsymbol b|·cos θ$，其中$θ$是$boldsymbol a$与$boldsymbol b$的夹角。
两个向量夹角的取值范围是$[0°,180°]$，零向量与任一向量的数量积为0。
数量积的几何意义
数量积$boldsymbol a$·$boldsymbol b$等于$boldsymbol a$的长度$|boldsymbol a|$与$boldsymbol b$在$boldsymbol a$的方向上的投影$|boldsymbol b|cos θ$的乘积。
注：①投影和两个向量的数量积都是数量，不是向量。当$θ$为锐角时投影为正值；当$θ$为钝角时投影为负值；当$θ$为直角时投影为0；当$θ=0°$时投影为$|boldsymbol b|$；当$θ=180°$时投影为$-|boldsymbol b|$。
② $boldsymbol b$在$boldsymbol a$方向上的投影可以记为$|boldsymbol b|cos θ$，也可记为$frac{boldsymbol a·boldsymbol b}{|boldsymbol a|}$。
二、平面向量的数量积的相关例题
已知$boldsymbol a$，$boldsymbol b$均为单位向量，若$|boldsymbol a-2boldsymbol b|=sqrt{3}$，则向量$|boldsymbol a|$与$|boldsymbol b|$的夹角为___
A．$frac{π}{6}$ B．$frac{π}{3}$ C．$frac{2π}{3}$ D．$frac{5π}{6}$
答案：B
解析：由$|boldsymbol a-2boldsymbol b|=sqrt{3}$得$(boldsymbol a-2boldsymbol b)^2=3$，即$boldsymbol a^2+$$4b^2-$$4boldsymbol a·boldsymbol b=$3，设单位向量$boldsymbol a$与$boldsymbol b$的夹角为$θ$，则有1+4-4$cos θ$=3，解得$cos θ=frac{1}{2}$，又$θ∈[0,π]$，所以$θ=frac{π}{3}$，故选B。
