数学学院
《统计学》考试大纲
I 考查目标
全国硕士研究生入学统一考试应用统计硕士专业学位（新增大数据科学与工程硕士学位项目）《统计学》考试是为高等院校和科研院所招收应用统计硕士生而设置的具有选拔性质的考试科目。其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读应用统计专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养具有良好职业道德、法制观念和国际视野、具有较强分析与解决实际问题能力的高层次、应用型、复合型的统计专业人才。考试要求是测试考生掌握数据收集、处理和分析的一些基本统计方法。
具体来说，要求考生：
1． 掌握数据收集和处理的基本方法；
2． 掌握数据分析的基本原理和方法；
3． 掌握基本的概率论知识；
4． 具有运用统计方法分析数据和解释数据的基本能力。
II 考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为150分，考试时间180分钟。
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试。允许使用计算器（仅仅具备四则运算和开方运算功能的计算器），但不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。
三、试卷内容与题型结构
统计学 120分，有以下三种题型：
单项选择题 25题，每小题2分，共50分
简答题 3题，每小题10分，共30分
计算与分析题 2题，每小题20分，共40分
概率论 30分，有以下三种题型：
单项选择题 5题，每小题2分，共10分
简答题 1题，每小题10分，共10分
计算与分析题 1题，每小题10分，共10分
III 考查内容
一、 统计学
1． 调查的组织和实施。
2． 概率抽样与非概率抽样。
3． 数据的预处理。
4． 用图表展示定性数据。
5． 用图表展示定量数据。
6． 用统计量描述数据的水平：平均数、中位数、分位数和众数。
7． 用统计量描述数据的差异：极差、标准差、样本方差。
8． 参数估计的基本原理。
9． 一个总体和两个总体参数的区间估计。
10． 样本量的确定。
11． 假设检验的基本原理。
12． 一个总体和两个总体参数的检验。
13． 方差分析的基本原理。
14． 单因子和双因子方差分析的实现和结果解释。
15． 变量间的关系；相关关系和函数关系的差别。
16． 一元线性回归的估计和检验。
17． 用残差检验模型的假定。
18． 多元线性回归模型。
19． 多元线性回归的拟合优度和显著性检验；
20． 多重共线性现象。
21． 时间序列的组成要素。
22． 时间序列的预测方法。
二、 概率论
23． 事件的关系和运算；
24． 事件的概率；
25． 条件概率和全概率公式；
26． 随机变量的定义；
27． 离散型随机变量的分布列和分布函数；离散型均匀分布、二项分布和泊松分布；
28． 连续型随机变量的概率密度函数和分布函数；均匀分布、正态分布和指数分布；
29． 随机变量的期望与方差；
30． 随机变量函数的期望与方差。
IV参考书目：
[1] 贾俊平，何晓群，金勇进.《统计学》（第五版），中国人民大学出版社，2018
[2] 茆诗松，程依明，濮晓龙. 概率论与数理统计教程（第二版），高等教育出版社，2011
考试科目名称：数学分析 考试科目代码：[612]
一、考试要求：
1）要求考生熟练撑握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法。
2）要求考生具有严格的数学论证能力、举反例能力和基本计算能力。
3）要求考生了解数学分析中的基本概念、理论、方法的实际来源和历史背景，清楚它们的几何意义和物理意义，初步具备应用数学分析解决实际问题能力。
二、考试内容：
1) 极限和连续
a．熟练掌握数列极限与函数极限的概念，包括数列的上、下极限和函数的左、右极限。
b．掌握极限的性质及四则运算性质，特别要能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。
c．熟练掌握实数系的基本定理：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，Bolzano-Weierstrass定理，Heine-Borel有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解相互关系。
d．熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够运用函数连续的四则运算与复合运算性质以及相对应的无穷小量的性质；并理解两者的相互关系。
e．熟练掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理和Contor定理。
2) 一元函数微分学
a．理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义和物理意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。
b．熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高介导数的运算法则，会求分段函数的导数。
c．熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和平共处Cauchy中值定理以及Taylor公式。
d．能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。
e．掌握用L’Hospital法则求不定式极限的方法。
3) 一元函数积分学
a．理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求有理函数、三角有理函数和简单元理函数的积分。
b．掌握定积分的概念，包括Darboux和，上、下积分及可积条件与可积函数类。
c．掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法。
d．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积，平面贡线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积，变力做功和物体的质量与质心）。
e．理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法；其中包括积分第二中值定理。
4) 无穷级数
a．理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。
b．熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy判别法，D’Alembert判别法与积分判别法。
c．熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的Leibnitz判别法。掌握绝对收敛级数的性质。
d．熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Weierstrass判别法。Abel判别法和Dirichlet判别法。熟练掌握一致收敛级数的性质。
e．掌握幂级数及其收敛半径的概念，包括Cauchy-Hadamard定理和Abel第一定理。
f．熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。了解Weierstrass逼近定理。
g．了解Fourier级数的概念与性质以及敛散性的判别法。
5) 多元函数微分学与积分学
a．理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分。
b．掌握隐函数存在定理。
c．会求多元函数极值和无条件极值，了解偏导数的几何应用。
d．掌握重积分、曲线积分和曲面积分的概念与计算。
e．熟练掌握Gauss公式、Green公式和Stoks公式及其应用。
6) 含参变量积分
a．了解含参变量常义积分的概念与性质。
b．掌握含参变量广义积分的一致收敛性的概念及其判别法。掌握一致收敛的含参变量广义积分的性质。
三、试卷结构：
1) 考试时间：180分钟，满分：150分
2) 题型结构
a: 论证与举反例(105-135分)
b: 基本计算(15-45分)
四、参考书目：
1．《数学分析》（上、下册），复旦大学数学系编，高等教育出版社，2007年，第二版
2．《数学分析习题集》，北京大学数学系编，高等教育出版社。
考试科目名称：高等代数 考试科目代码：[831]
一、考试内容及要求
（一）多项式
1.理解数域，多项式，整除，最大公因式，互素，不可约，重因式等概念。了解多项式环，微商，本原多项式，字典排序法，对称多项式，初等对称多项式，齐次多项式，多项式函数等概念。
2.掌握整除，带余除法定理，最大公因式定理，互素多项式及不可约多项式的判别与性质，多项式因式分解定理，余式定理，因式定理、代数基本定理，Vieta定理，高斯引理，Eisenstein判别定理，对称多项式基本定理。
3.掌握多项式无重因式、多项式相等的判别条件，Lagrange插值公式，复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论，有理多项式的有理根范围。
4.掌握辗转相除法，化对称多项式为初等对称多项式的多项式的方法。
(二)行列式
1.了解行列式的概念，理解行列式的子式，余子式及代数余子式的概念。
2.掌握行列式的性质，Cramer法则，Laplace定理，行列式乘法公式。
3.掌握行列式的计算，并且能运用行列式理论解决相关问题。
（三）线性方程组
1.理解向量线性相关，向量组等价，极大无关组，向量组的秩，矩阵的秩，基础解系，解空间等概念。
2.掌握线性方程组有解判别定理，解的结构，以及求解线性方程组的方法。
(四)矩阵
1.理解矩阵的基本概念及其性质，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律。
2.掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。掌握伴随矩阵的概念与性质。理解矩阵的初等变换及矩阵等价的概念，会求矩阵的秩及逆矩阵。
3.理解分块矩阵，掌握分块阵的运算及初等变换。
（五）二次型
1.掌握二次型的概念及二次型的矩阵表示，二次型秩的概念，二次型的标准形、规范形及慣性定律，掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形的方法。
2.掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法。
(六)线性空间
1.理解线性空间，子空间，生成子空间，基底，维数，坐标，过渡矩阵，子空间的和与直和，线性空间同构等概念。
2.掌握基扩张定理，维数公式。会求基底，维数，坐标，过渡矩阵。
（七）线性变换
1.理解线性变换，特征多项式，特征子空间，不变子空间，相似变换，相似矩阵，Jordan标准形，有理标准形，最小多项式等概念。
2.掌握线性变换的性质，特征值、特征向量的性质，核空间与值域的性质，不变子空间的性质及分解理论。掌握Hamilton-Cayley定理及最小多项式理论。
3.掌握线性变换与矩阵“互化”的思想方法，并能用于解决相关问题。
（八）矩阵
1.理解矩阵、可逆矩阵、矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子等概念，了解矩阵的标准形。
2.掌握矩阵可逆的充要条件，矩阵等价的充要条件，数字矩阵相似的充要条件，了解Jordan标准形的理论推导。
3.会求矩阵的标准形及不变因子。会求数字矩阵的Jordan标准形。
(九)欧几里得空间
1.掌握内积，欧氏空间，向量长度、夹角、距离，度量矩阵，标准正交基、正交补，正交变换，正交阵，对称变换，同构等概念。
2.掌握Schmidt正交化方法。掌握标准正交基的性质，正交变换的性质，正交阵的性质，对称变换的性质及标准形。
3.掌握实对称阵的特征值、特征向量的性质。会用正交相似变换将实对称阵相似（合同）对角化。
二、试卷结构
考试时间：180分钟，满分：150分，其中主观题的比例不低于60%。
物理学院
考试科目名称：普通物理（光学、电磁学各占50%） 考试科目代码：[613]
电磁学部分
一、考试要求
1.基本概念
静电场（真空中、导体中或电介质中）的性质；稳恒电流，电动势；
稳恒磁场（真空中、导体中或电介质中）的性质；
涡旋电场、位移电流、电磁场和电磁波的物理模型。
2.基本定理、定律
静电场的高斯定理，静电场的环路定理；
欧姆定律的积分及微分形式；
电流的连续性方程，恒定电流条件，基尔霍夫定律；
稳恒磁场的毕奥-萨伐尔定律，安培环路定理，磁场的“高斯定理”，安培力和洛仑兹力公式；
法拉第电磁感应定律，楞次定律，涡旋电场假说，位移电流假说；
Maxwell方程组。
3.基本方法
利用电荷元求电场强度和电势的积分法，利用高斯定理求电场强度的方法，利用场强的线积分求电势的方法，利用场强与电势微分关系求电场强度的方法；
利用毕奥-萨伐尔定律求磁场分布的方法，利用安培环路定理求磁场分布的方法；计算稳恒磁场中载流导体所受作用的方法；
利用静电场和稳恒磁场的已知结论求解有关静电场和稳恒磁场复杂问题的方法；
利用法拉第定律求解电磁感应问题，求解动生电动势、涡旋电场和感生电动势问题的方法；
利用积分形式的欧姆定律求解电流分布的问题；
利用基尔霍夫方程求解复杂电路问题。
二、考试内容
1. 静电场
（1）静电的基本现象和基本定律。静电场，电场强度，静电场的计算。高斯定理及其应用，电势及其梯度。
（2）静电场中的导体，电容和电容器。电势能，电场的能量。
（3）电介质的极化，极化强度，电位移，、和的关系；介质中的高斯定理及其应用。
（4）电流的恒定条件和导电规律，欧姆定律的积分及微分形式。电源及其电动势。
2. 稳恒磁场
（1）基本磁现象，安培定律，磁感应强度。毕奥-萨伐尔定律，载流回路的磁场。低速运动带电粒子的磁场。
（2）稳恒磁场的高斯定理，安培环路定律。
（3）洛仑兹力，带电粒子在磁场中的运动，载流导体受力（安培力），磁力矩。
（4）磁介质的磁化机制，磁化强度，磁场强度，、和的关系；磁介质中的安培环路定律及其应用。
3. 电磁感应
（1）电磁感应定律。动生电动势与感生电动势。
（2）互感，自感，串联两线圈的等效自感。
（3）自感磁能与互感磁能，磁场的能量和磁能密度。
4. 电路
（1）电流的连续性方程，恒定电流条件。
（2）恒定电路，基尔霍夫定律。
（3）暂态过程。
5. 电磁场与电磁波
（1）电磁场的基本规律，涡旋电场及其环流。
（2）位移电流。Maxwell方程组，电磁波的产生与传播。
（3）坡印廷矢量，电磁波的物质性，电磁波谱。
三、试卷结构
1. 考试时间：180分钟（本内容90分钟）
2. 分数：150分（本内容75分）
3. 题型结构
（1）简答题 (25分)
（2）计算题或证明题(50分)
四、参考书目
（1）赵凯华，陈熙谋. 新概念物理教程—电磁学.高等教育出版社. 2011
（2）贾起民，郑永令，陈暨耀. 电磁学.高等教育出版社. 2001
（3） 梁灿斌. 电磁学. 高等教育出版社. 2010
考试科目名称：普通物理（光学、电磁学各占50%） 考试科目代码：[613]
光学部分
一、 考试要求：
掌握光学的基本概念、基本原理和基本公式。
掌握求解光学问题的基本方法，能够准确地熟练求解光学的基本问题。
能够灵活运用光学的基本概念、原理和方法分析和解决综合性的光学问题。
二、考试内容：
a）几何光学
1.单球折、反射面傍轴成像的基本概念和基本理论，单球折、反射面傍轴三次成像问题。
2.薄透镜傍轴成像的基本概念和规律，薄透镜傍轴三次成像。
3.光学仪器和光阑，像差的基本概念。
b) 光的干涉
1.光波干涉的基本概念，双光束和多光束干涉的特点和规律。
2.分波面干涉、分振幅干涉（等厚干涉和等倾干涉）。
3.光场的空间和时间相干性。
c）光的衍射
1.菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射的基本概念和规律。
2.衍射光栅，闪耀光栅，光学仪器的色散本领、色分辨本领。
d）光的偏振
1.光的偏振态的基本概念；菲涅耳公式、相位突变。
2.双折射，偏振态的变化和检验，偏振光的干涉和旋光。
e）光的吸收、色散、散射；群速。
f）光的量子性和激光的基本概念和思想。
三、 试卷结构：
1. 考试时间：180分钟（本内容90分钟）
2. 分数：150分（本内容75分）
3. 题型结构
（1）问答题或证明题(25分)
（2）计算题(50分)
四、参考书目
1）新概念物理教程《光学》，赵凯华，高等教育出版社出版，2004年版。
2）《OPTICS》(光学) （第四版），Eugene Hecht(张存林 改编)，高等教育出版社 2004年版。
考试科目名称：量子力学 考试科目代码：[833]
一. 考试要求
量子力学是应用最广泛，发展最迅速的物理基础理论，是处理介观和微观领域问题的重要工具。量子力学的许多基本概念和方法与经典物理迥然不同，对考生的要求是：，
1．掌握量子力学的基本概念、基本原理和基本物理规律；
2．掌握量子力学处理问题的基本方法，能够运用这些方法处理微观粒子运动的一些基本问题，具有一定的公式推导能力；
3．能够灵活运用量子力学知识分析和解决较综合性问题。
二. 考试内容
1 量子力学的诞生
了解经典物理学的困难和量子力学诞生的实验基础与理论背景。理解微观粒子运动的特殊性。
2 波函数与薛定諤方程
掌握波函数及其统计解释，状态叠加原理，薛定諤方程，概率密度与概率流密度，薛定谔方程的定态解。掌握一维定态的一般性质，在给定的简单位势下能正确求解定态薛定谔方程（束缚态问题、非束缚态问题）。
3 力学量的算符表示
掌握算符的概念及其运算规则、厄米算符的本征问题、坐标算符和动量算符的本征解、共同本征函数系、展开假定、不确定关系、力学量随时间的变化；理解对称性与守恒定律。
4 中心力场
掌握球对称势和径向薛定谔方程、氢原子问题的求解方法及结果。掌握角动量算符本征值问题的求解方法，理解对称性与简并度的关系。
5 表象理论
理解态和力学量的表象；掌握力学量和量子力学公式的矩阵表示、幺正变换；熟悉狄拉克符号及谐振子的占有数表象。
6 自旋与角动量加法
了解电子自旋的实验基础，掌握自旋算符和自旋波函数、泡利矩阵、电磁场中的薛定谔方程、两个角动量的耦合、自旋单态与三重态；熟悉塞曼效应和光谱的精细结构。
7 近似方法
了解定态微扰论的适用范围和条件；掌握无简并微扰论、简并微扰论、氢原子的斯塔克效应、变分法。
8 多体理论
理解全同性原理及其对于多体系统波函数的限制、费米子和玻色子系统的性质及泡利原理。
9 量子跃迁
熟悉散射过程的一般描述，散射截面；理解分波法和玻恩近似；了解与时间有关问题的处理方法。
三. 试卷结构
考试时间为180分钟，满分为150分。
题型结构
基本概念、原理等基础知识 （约50分）
一般性问题的分析，求解 （约70分）
灵活运用所学知识求解综合性问题 （约30分）
四. 参考书目
1.井孝功.《量子力学》、《量子力学习题解答》.哈尔滨工业大学出版社， 2009 年 修订版。
2.曾谨言. 《量子力学教程》. 高等教育出版社，2003年
