2016年高考数学平面向量怎么复习

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平面向量

考试内容：向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．

考试要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．

平面向量知识要点

1.本章知识网络结构



2.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法；字母表示：a；

坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.

(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.

单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）

(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.

3.向量的运算

4.重要定理、公式

(1)平面向量基本定理

e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，

λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)两个向量平行的充要条件

a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.

(3)两个向量垂直的充要条件

a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y­2＝O.

(4)线段的定比分点公式

设点p分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则

＝＋(线段的定比分点的向量公式)

(线段定比分点的坐标公式)

当λ＝1时，得中点公式：

＝（＋）或

(5)平移公式

设点p(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点p′（x′，y′），

则＝+a或

曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：

y－ｋ＝f（x－ｈ)

(6)正、余弦定理

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝c2＋a2－2cacosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.

（7）三角形面积计算公式：

设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为p，外接圆、内切圆的半径为R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=pr③S△=abc/4R

④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA⑤S△=[海伦公式]

⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.

如图：

图1中的I为S△ABC的内心，S△=pr

图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s为△ABC的半周长,即]

则：①AE==1/2（b+c-a）

②BN==1/2（a+c-b）

③FC==1/2（a+b-c）

综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.

特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）.

⑹在△ABC中，有下列等式成立.

证明：因为所以，所以，结论！

⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则.

证明：在△ABCD中，由余弦定理，有①

在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化简

可得，（斯德瓦定理）

①若AD是BC上的中线，；

②若AD是∠A的平分线，，其中为半周长；

③若AD是BC上的高，，其中为半周长.

⑻△ABC的判定：

△ABC为直角△∠A+∠B=

＜△ABC为钝角△∠A+∠B＜

＞△ABC为锐角△∠A+∠B＞

附：证明：，得在钝角△ABC中，

⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

定比分点

定比分点公式（向量p1p=λ•向量pp2）

设p1、p2是直线上的两点，p是l上不同于p1、p2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量p1p=λ•向量pp2，λ叫做点p分有向线段p1p2所成的比。

若p1（x1,y1)，p2(x2,y2)，p(x,y)，则有

Op=(Op1+λOp2)(1+λ)；（定比分点向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段p1p2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心

[编辑本段]向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是a•b=0。

a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.

设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”

a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；

当λ＜0时，λa与a反方向；

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。

向量的数量积的运算律

a•b=b•a（交换律）；

(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；

（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；

向量的数量积的性质

a•a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a•b=0。

|a•b|≤|a|•|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c(a≠0)，推不出b=c。

3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

5、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

6.向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

①当且仅当a、b反向时，左边取等号；

②当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

①当且仅当a、b同向时，左边取等号；

②当且仅当a、b反向时，右边取等号。