对于任何圆，其面积s等于圆周率π和半径r 2的平方的乘积。换句话说，任何圆的面积与其半径的平方之比都是同一个常数——π。那么，这个结论是经过数学严格证明的，还是一种数学直觉？其实圆的面积公式(s =πr ^ 2)在数学上是可以严格证明的，中国古代和古希腊的数学家都证明过。圆面积公式有多种证明方法。这里有几个例子。
（1）极限法一如果把一个圆分成N等份，然后拼接成如下四边形:
当n趋近于无穷大，也就是圆被分成无穷多个等份，那么四边形就会变成矩形。显然，这个矩形的长度是半圆的周长(πr)，宽度是圆的半径(r)。这个矩形的面积等于圆的面积，那么圆面积的公式就是:S=πr？r=πr^2。
但要完成这个证明，首先需要证明圆周的公式(C=2πr)。通过相似三角形原理，很容易用几何方法证明圆的周长与直径之比相等的常数，这个常数就是圆周率。
（2）极限法二将圆分成n等份，在每一扇形中连接半径与圆的交点。假设每个扇区的圆心角为2θ，则2θ = 2π/n。
考察其中一个三角OAB，可以根据三角函数得到。OC=rcosθ，AB=2rsinθ，三角形OAB的面积为:
S△OAB=1/2 AB OC=r^2sinθcosθ
当n趋于无穷大时，圆的面积可以表示为:
S=lim(n→+∞)n S△OAB
根据极限原理，可以计算出s =πr ^ 2。
（3）积分法一严格来说，这也是一种极限方法，但这里圆的面积是严格按照圆的方程(x ^ 2+y ^ 2 = r ^ 2)计算的:
（4）积分法二如果将圆分成无数个厚度为dr的薄圆环，那么每个圆环的面积为2πr dr，对其积分，可以得到:
总之，圆的面积与半径的平方之比是π，这是严格的数学证明，而不是经验公式。
