很多同学都知道这个故事:早年，大数学家高斯通过巧妙的算法，很快计算出了从1到100的100个自然数的和。大家在赞叹的同时，你有没有仔细想过？高斯为什么这么快？当然，小高斯的聪明和观察力就不用说了。究其根本，最基本的原因是这100个数字及其排列的方法具有很强的规律性——每一项都比它前面的一项大1，即构成一个等差数列，而这个数列有一个非常简单的求和方法。通过这次讲座的学习，我们不仅会掌握这个级数的求和方法，还会学会利用这个级数解决许多有趣的问题。
一.等差数列
什么是等差数列？我们先来看几个例子:
① 1,2,3,4,5,6,7,8,9,…
② 1,3,5,7,9,11,13.
③ 2,4,6,8,10,12,14…
④ 3,6,9,12,15,18,21.
⑤ 100,95,90,85,80,75,70.
⑥ 20,18,16,14,12,10,8.
这六个数列有一个共同的特点，就是相邻两项之差是一个定数，像这样的数列叫做等差数列。这个固定的数字称为公差，一般用字母D表示，如:
①在序列中，d=2-1=3-2=4-3=……=1。
②在序列中，d=3-1=5-3=……=13-11=2。
⑤在序列中，d=100-95=95-90=……=75-70=5。
⑥在数列中，d=20-18=18-16=……=10-8=2。
一般来说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列中的每一项都不小于或大于前一项。在上面例子1的数列⑥中，第一项大于第二项，而第二项小于第三项，显然不符合等差数列的定义。
为了叙述和书写的方便，通常，我们将序列的第一项记为a1，第二项记为A2，...第n项an，an，也称为序列的一般项。a1也称为序列的第一项，最后一项也称为序列的最后一项。
二、通式
对于容差为D的等差数列a1，a2，…an…如果a1小于a2，那么显然A1-A2 = A3-A2 = … = an-an-1 = … = d，所以:
a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
…
因此，an = a1+(n-1) × d (1)
如果a1大于a2，可以用同样的方法推导出来:
an=a1-(n-1) ×d (2)
公式(1)和(2)称为等差数列的一般公式。在已知第一项和公差的情况下，利用通式可以求出任意一个等差数列。
第三，等差数列求和平。
若a1小于a2，则容差为D的等差数列a1，a2，a3，…，an可写成A1，A1+D，A1+D× 2，…，A1+D× (n-1)。因此，很容易知道:
a1+an = a2+an-1 = a3+an-2 = a4+an-3 =…= an-1+a2 = an+a1。
设Sn=a1+a2+a3+…+an，
那么Sn=an+an-1+an-2+…+a1，
两个公式相加得到:
2×Sn =(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)
即2×Sn=n×(a1+an)，所以，
Sn=n×(a1+an)÷2 (4)
当a1大于a2时，也可以得到上式。这个公式是等差数列前n项之和的公式。
题目讲完了，我们再来分析一下。本题有499个等差数列项，中间一项即第250项的值是997，和正好等于997×499。其实这不是偶然现象。关于中项有以下定理:
对于任意奇数项的等差数列，中项的值等于所有项的平均值，也等于第一项和最后一项之和的一半；换句话说，项之和等于中间项乘以项数。
这个定理叫做中项定理。
四。等差数列的应用
这是给学生的一个小练习。让我们一起做吧！
感谢您关注马媛媛的奥数课。下一讲讲的是“逆向演绎法的妙用”。
本期答案
