有时候，仅仅从理论角度看起来很有趣的数学公式，却能揭示出与某些应用问题意想不到的联系。
以三角学中的“和差积”公式为例。
这个公式将直接应用于解释“拍”的声学现象。让我们看看这是怎么回事。
打败
当你同时播放两个频率非常接近的音调时，合成的音调听起来断断续续，就好像有人在以固定的频率调高和调低音量。这种现象叫做拍。三角函数的公式会帮助我们解释它。
所演奏的两个音调可以用两个频率为ω_1和ω_2的三角函数来表示(这两个准确的说是角频率，但为了简单起见，我在这里就称之为频率)。
作为一个非常好的近似，我们可以认为声学现象是线性的。这样，同时弹奏两个音符产生的声音就等于这两个音的叠加。
借助和差积公式，我们可以将这个“声音”函数表示为
在最后一个表达式中，我们定义
如果这两个频率ω_1 ~ ω_2非常接近，我们可以认为ω(ω_ 1，ω_2的平均值)也非常接近这两个频率。同时，δ(ω1和ω2之差的一半)与ω相比是一个非常小的量。
当它远小于时，我们可以将其视为音符sin(ωt)的周期性缩放，缩放倍数为a(t)= 2cos(δt)
我们可以看到A(t)起到了周期性调节声音sin(ωt)音量的作用。两个初始频率越接近，拍频δ就越慢。
在下图中，你可以看到一个例子。上图是两个函数f1和F2，下图是它们的组合函数s。
乐器校对
拍现象可以用来校准乐器。让我们看看它是如何工作的。
假设你现在需要用音叉来校正吉他的声音。如果吉他的琴弦调到接近音叉声音的地方，同时弹奏会产生拍子。
一般来说，通过增加或减少琴弦的张力来完善发音是很难的。更容易通过试错。
假设你试图增加琴弦的张力(也就是增加声音的频率)，你拨动琴弦，敲击音叉，那么听到节拍的频率就增加了。这意味着增加弦的张力是反方向的。此时，你要慢慢降低琴弦的张力，直到拍子频率小到几乎不引人注意。现在恭喜你，你的吉他弦和音叉发出的声音是一样的(这对于实际演奏来说已经足够了)。
剩下的五根弦呢？过程是一样的，除了你用你调过的弦的其他音调代替音叉。(译者注:吉他的不同弦上可能会有相同的声音。根据调好的弦上的声音，找到另一根弦上同样的声音，然后校准这根弦。)
当然，你可以在计算机程序的帮助下给乐器调音。但是假设你在沙滩上或者路边弹吉他，身边围着一群你的粉丝，而你刚好没有电脑，手机也没电了。你最好知道怎么用传统的方法校准吉他，不然瞬间掉粉！
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