[交错排列]
N个元素排列好之后，经过一次重排，每个元素都不在原来的位置上，这叫做这N个元素的错位排列；
公式1:
公式2:
最直接的题型就是记住公式:一个元素错位重排时是0(因为只有一个元素，不可能错位)，两个元素错位重排时是1，三个是2，四个是9，五个是44，从0，1，2，9，44，可以是
【例1】晚餐时四个厨师各做一道招牌菜。现在每个人都被要求品尝一道菜，但他们不能品尝自己做的菜。有多少种不同的品尝方法？( )
A.6种B.9种C.12种D.15种
【答案】明显是错位问题。4人的错位:D4=9，选b
【例2】五个瓶子都贴了标签，其中三个贴错了。有多少种可能的情况？( )
A.60种B.46种C.40种D.20种
【答案】这个问题也是一个错位问题，但是需要先一步一步算。第一步:可以从5个中选择3组瓶子和标签，有10种选择方式。第二步:计算3瓶贴错标签的案例D3=2，那么案例总数为:N=10×2=20。选择d .
练习一:宝不同A、B、C、D的商品要上架。但是，A不能放在一楼，B不能放在二楼，C不能放在三楼，D不能放在四楼。然后，有()种不同的推杆方法。
a6 b . 7 c . 8d . 9
【答案】他们不能被安置在自己想去的地方。典型的放错问题，选d。
练习二:(湖南师大附中月考，2021)如果五个人每人写一张卡片(每张卡片的形状和大小都一样)，现在把这五张卡片放在一个不透明的盒子里，搅拌均匀，然后让这五个人每人拿一张盒子里的卡片，刚好一个人可以拿到他写的卡片。方法是()
A.20种B. 90种C.15种D. 45种
【答案】先一步一步数，这涉及到一个错位问题。第一，5组有4组错位，有5例。二是4组错位9例。∴N=45.选d。
[依次插入空(排序问题)]
如果N个元素的排列中有M个元素保持相同的相对位置，可以考虑将这M个元素排列好位置，然后将n-m个元素逐个插入队列。此时只有一种情况(注意每插入一个元素，下一个元素的可选空位是n+1)(注意:这种类型通常是逐个插入/[/k0/k)。
【例1】一个节目列表中有六个节目。如果这些程序的相对顺序不变，增加三个程序，有多少种不同的方式？
答案:方法一:你可以把这六个节目按照开头要求的顺序排列。共有一种排列方式，其他三种程序可以依次插入。∴N=1×7×8×9=504
注意:如果有几组排序，用几个整行来分就行了。
练习:元宵节灯会结束后，如图所示挂着9个不同的灯笼。一次拿一个灯笼。有多少种不同的方法()
公元1680年至1640年
回答:这种问题比较混乱，但其实是一个排序问题，因为每组的三个灯笼取下来的时候是有固定顺序的。所以直接用排序公式:A99/A33。A33.A33=1680种。
[相同元素的分组(分区方法)]
(注:所有挡板法都可以用换元法求解，并转换成至少一种方法。划分法的本质:x+y+z的正整数解的个数...=n，n∈Z+
【例1】(1)如果把16个相同的球放在三个不同的盒子里，要求每个盒子都要有球，那么球的摆放方式有哪些不同？
回答:16个相同的球，分3个不同的盒子，在这16个球之间可以切三次，每种切法对应一种分法。
总数:C15-2=105种。
(2)将16个相同的球放入编号为1、2和3的三个盒子中。要求盒子1至少有一个球，盒子2至少有两个球，盒子3至少有三个球。球的摆放方式有哪些不同？
分析:划分法的两个象征性信息:1。相同元素分配2。每个框中至少有一个元素。但是在这个问题中，每个盒子中至少没有一个元素。
所以这种类型的球要提前放:2号箱1个，3号箱2个。这将满足在每个盒子里至少多放一个球的需要。由于球已经放在2号和3号箱子里，只需要把剩下的13个球放在3号箱子里，所以只需要两次切割，也就是C12-2=66种。
(3)把16个相同的球放在三个不同的盒子里，盒子可以空装球，那么球的摆放方法有哪些不同？
分析:划分法的两个象征性信息:1。相同元素分配2。每个框中至少有一个元素。但是在这个问题中，每个盒子中至少没有一个元素。
因为这种类型有些盒子可以空，所以不能放空。这种类型需要借三个球，放在三个盒子里，这样每个盒子至少可以有一个球。因为是借来的球，球的总数是19个，所以把19个球分成三个盒子只需要两把刀。
练习:学校1、2、3班有10个晋级名额，那么每个班有多少种方式可以获得比班号更多的晋级名额？
本题自完成:共有126种。
[不同元素的分组]
将n种不同的元素放入m个不同的盒子中；
不同元素的分组问题分为以下几类:
①均匀分组；②分组不均匀；③统一分组分布；④非均匀分组和定向分布；⑤分组不均，分布不定向；
【例1】六本不同的书按以下要求处理。各有多少种方法？
(1)平均分成三堆；.................统一分组问题
(2)由甲、乙、丙三方平均分配；................统一分组指派问题
(3)一堆1本，一堆2本，一堆3本；................非均匀分组问题
(4)甲方1份，乙方2份，丙方3份；...............非均匀分组定向分配
(5)一人得一份、二份、三份；.............非统一分组和非定向分配
这种类型遵循先分组，后分发的原则。先求分组案例数，再求分布案例数，最后相乘。
排列组合总论:排列组合主要是一个基于分类计数和分步计数，再通过排列组合的计数问题。在应用过程中，需要对不同的题目类型进行分类，不同的类型对应不同的方法，可以解决问题。
