勾股定理是在中国的叫法，通行的是称之为毕达哥拉斯定理，也叫做百牛定理，据说是毕达哥拉斯证明了该定理杀了一百头牛来庆祝。我们一般称之为勾股定理，是因为《周髀算经》里有“勾三股四弦五”的说法，后来刘徽用几何的方法证明了这个定理，就是青朱出入图，在我上学的时候，课本上是没有证明方法的，偶然的机会看现在的教材，全都是青出入方图，基本没有提及其他证明方法的。
实际上勾股定理的证明方法很多，中国古代数学（古代并不称之为数学，而说是算术，都是计算的实用成就）主要是在计算方法上取得了成就，包括埃及、印度、古代巴比伦等等基本都是类似的，这有点类似于中医，知道一些效果，但不知道具体的原理。
我们现在再来看刘徽的证明，是很不严谨的，首先中国古代没有直线、角、三角形内角和定理等定理的，首先无法精确的说明该问题，更加不用说证明了，不能上升为理性的证明。古代希腊最主要的成就其实并不是给后人多少知识，而是开辟了发现真理和知识的途径，他们沿着这一途径取得了同一时期其他文明不曾取得的成就，虽然问题也很多。
我们看欧几里得的证明：
证明的思路为：从A点画一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。
设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。
分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。
因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四边形BDLK=BAGF=AB²。
同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。
把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL，
BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。
由于欧几里得已经给出了公理、定理，还有各种精确的定义、概念，才使得证明过程严谨可靠，要想推翻他的证明，就要证明他的基础公理不正确，这后来就有了非欧几何。
我们虽然不能否定古代数学家（算术家）的成就，但也应当实事求是的指出不足的地方，这样才能让学生有更加深入的认识，才能不断进步！
