对数学基础的研究包括调查，尽管可能不是所有可能的调查，包括对数学的一般反思。学科自然而然地通过将某些概念和原则挑出为“基本”并集中注意力来进行，但是当然，基本概念和原则的确定本身是基于基础研究或可能根据基础研究进行修改。
在这个条目中，相当大的重点将放在关于数学的哲学问题上，这些问题无疑属于基础。然而，许多，也许是大多数，基础研究主要是数学的。在过去的一百年中，数理逻辑发挥了重要作用。我们将不详细阐述数理逻辑，但我们希望我们的讨论能够对逻辑问题和结果与哲学问题之间的关系，以及对最近逻辑工作的一些结果有所了解。
数学一直吸引哲学家们注意的两个主要品质是高度的系统化和数学理论的严谨发展。系统化问题似乎是数学基础中的最初问题，既因为它在数学本身的历史上一直是一股强大的力量，也因为它通过挑选出基本的概念和原理来设定进一步研究的形式。此外，数学的系统整合是另一个哲学突出特征的重要基础，即其高度的清晰性和确定性。在数学中，系统化采取了一种特有的、高度发达的形式——公理化方法——它不时被视为一般系统化的模型。因此，我们将从对公理方法的讨论开始我们的主要论述。
基础研究一直关注证明数学陈述和原理的问题，理解为什么某些明显的命题是明显的，提供对似乎不太明显的公认原理的证明，以及寻找和剔除不合理的原理。因此，我们阐述的自然下一步将是从认识论的角度考虑数学，这导致我们将数学作为哲学家所称的先验知识的主要实例进行考察。在这方面，我们将对两个非常基本的数学思想，类和自然数进行一些逻辑分析，并讨论戈特洛布·弗雷格的尝试和伯特兰·罗素利用这两个思想之间的密切关系来证明数学在某种程度上是逻辑的一部分。我们还将讨论伊曼纽尔·康德( Immanuel Kant ) 对数学证据和其他先验知识概念的看法。（证据一词在本条目中经常以一种在受德国传统影响的哲学著作之外不寻常的方式使用，意思是“显而易见的属性” ——德语，Evidenz。）
现代数学的发展，以其抽象的特征和对集合论的依赖，导致证据问题被集中在更具体的柏拉图主义问题上。现代基础研究正是以这种发展和随之而来的数理逻辑的发展为中心。
整个 19 世纪，数学家努力使算术和分析更加严格，这需要公理化并尝试使用自然数理论的概念作为定义算术和分析的进一步概念的基础。进行这种公理化和定义的方式是柏拉图主义的，从某种意义上说，数字和数字集合或序列都被视为自身存在。Georg Cantor对集合论的发展为这项工作提供了一个总体框架，并且还涉及更大的抽象和更强的柏拉图主义假设。
数理逻辑的发展引入了作为进一步元素的逻辑公理化（弗雷格在 1879 年完成的基本步骤）、将逻辑公理化纳入数学公理化的努力以及弗雷格方面的伴随趋势和Giuseppe Peano，将严格的公理化解释为形式化。弗雷格进一步发展了整个算术和分析的形式系统，本质上是一个集合论系统。
在二十世纪之交，随着集合论悖论的发现，整个发展陷入危机，这表明当时使用的类或集合的概念还没有得到充分阐明。二十世纪早期的许多基础研究——不仅是集合论的公理化——都是针对由悖论提出或被认为是由悖论提出的问题。
在那个时期出现了三种普遍观点，每一种观点都有自己的纲领，这些观点基于对柏拉图主义问题的独特态度。最激进的是直觉主义，它基于 LEJ Brouwer 对柏拉图主义整个思想的批判。与布劳威尔相反，大卫希尔伯特对数学中的傲慢倾向有着坚定的承诺，但他持有的认识论观点与布劳威尔对柏拉图主义的批判基本一致。利用这样一个事实，无论数学如何形式化，形式系统中的可证明性问题从狭隘的建构主义观点来看都是有意义的，希尔伯特的学派试图通过对形式化数学的元数学研究来确保柏拉图主义数学的基础——特别是通过一致性证明。这种观点被称为形式主义，尽管名称具有误导性，因为希尔伯特从未坚持认为即使是柏拉图主义的数学也可以简单地定义为“无意义的”形式系统。
以罗素为代表的第三种观点逻辑主义的支持者继续相信弗雷格将数学简化为逻辑的计划。接受这个计划涉及将一些柏拉图主义的假设视为直观明显的。
数理逻辑方面的大量工作旨在澄清和证明这些观点中的一个或另一个。我们可能会提到布劳威尔关于不可能在分析中建设性地证明某些定理的（非正式）结果，阿伦德海廷对直觉主义逻辑的形式化，希尔伯特及其同事对有限证明理论的发展，以及罗素和安怀特黑德的数学原理作为更进一步的发展集合论系统中的数学。
尽管如此，逻辑主义、形式主义和直觉主义的三分法可能从来都不是基础观点的最佳分类。
无论如何，这些学校已经不复存在了。他们都有遇到严重困难的程序；集合论的进一步经验以及 Ernst Zermelo 和 Russell 的公理化剥夺了悖论的明显世界末日特征；数理逻辑方面的专业工作越来越多地导致对重要性跨越学派划分的问题的考虑，并以独立于基本争论的方式看待学派的结果。在这个发展的决定性一步走过30年代初，随着G的发现ö德尔不完备定理和形式语义时代的到来。
数学基础的一些领域会在这里略过——特别是，我们不会深入探讨数学对具体世界的应用这一事实的重要性，尽管历史上数学与其应用之间的关系非常密切，而目前纯粹数学和应用数学之间的明显区别是相当大的。最近的发展。例如，我们将省略几何的特殊考虑。如果二十世纪前的观点认为几何是一种纯粹的数学理论，但仍然处理实际空间是正确的，那么这种遗漏是没有道理的。然而，即使是这种观点是否仍有可说之处的问题，与物理学哲学的关系比与我们将集中讨论的问题更为密切。今天纯数学家所理解的几何，
§1. 公理化方法正如我们所说，我们将从公理方法开始我们的讨论。对非正式公理系统概念的考虑导致了形式化和正式系统的概念。通过这个过程，特别是通过最后一步，数学理论本身就成为数学研究的对象。对这种可能性的利用也许是数学基础研究的现代特别举措，并在过去的一百年中极大地丰富了该学科。
1.1.公理化自欧几里德以来，公理化一个理论意味着通过挑出某些命题并从中推导出更多命题来呈现它。如果陈述是完整的，那么在理论中可以断言的所有陈述都应该因此是可推论的。公理化也意味着类似的词汇减少，因为某些概念应该被视为原始概念，并且在理论发展中引入的所有进一步概念都应该根据原始概念进行定义。从本质上讲，这是当今盛行的公理化理论的概念，尽管它已朝着不同的方向发展。
在该理论的发展过程中，对于推论和定义的方法存在重要的歧义。在这里，非正式公理总是利用一些可用于发展理论但本身不包含在公理化中的一般背景。在现代数学中，这种背景通常包括逻辑和算术，通常还包括分析和一些集合论。例如，在关于某种对象的公理化理论中，人们允许自己很快地对这些对象的序列和集合作出陈述，通过这些通用数学装置引入根据理论原语定义的概念，并根据算术、分析或集合论的规律进行推论。这样的概念经常出现在公理本身的陈述中。
暂时要求演绎和定义的手段仅限于纯逻辑的手段似乎很自然，因为逻辑应该包含那些具有最高普遍性并且必须应用于所有科学的正确推理规则。如果从公理化推导出需要使用特殊科学的方法，我们就会认为公理化只是部分公理化——特别是数学的分支（同样，如果除了原始概念之外，定义中还包括纯逻辑概念以外的概念）。那么，公理理论将只包含那些可以通过纯逻辑手段从某个有限的陈述集推导出来的陈述，以及可以从这些陈述中获得的陈述，这些陈述可以通过用原语纯逻辑地表达的定义获得。
这样一个公理系统似乎是欧几里得努力的目标。他显然不打算允许自己使用一般的数学概念，例如算术概念，因为他在他的公理中包含了涉及这些概念的命题，并承诺从第七至第九卷的公理中发展出一些数论。即使是欧几里德在达到这种严格程度方面的一些众所周知的失败——例如，他在他的第一个证明中假设两个圆心位于另一个圆周上的圆将有两个交点——可能是因为他认为它们是从所涉及概念的含义中直接推导出来的。当然，严格的定义理论需要给出定义或明确陈述公理，以使得此类推论仅通过逻辑进行。
在欧几里得的时代，这种形式的完全令人满意的公理化当然是不可能的。它可能不得不等待直到 19 世纪后期才发生的两项发展，即弗雷格对量化理论的发现和公理化以及算术的戴德金-皮亚诺公理化。（尽管如此，在这些发展之前已经取得了相当大的进步。）
这句话指出了我们正在考虑的概念的局限性，因为它没有赋予逻辑本身公理化的概念以意义，尽管这种公理化在现代基础研究中发挥了至关重要的作用。对这一点的理解导致了形式系统的概念，但在我们考虑这个概念之前，让我们观察一个理论公理化的结果。
1.2.抽象观点假设一个理论被完全公理化，以至于在陈述和演绎中使用的特殊理论的所有概念都被明确地作为原语给出，并且证明所依据的所有特殊假设都脱离了，或者在公理中陈述，或者从公理中推导出来。这意味着演绎的有效性完全不取决于特殊理论原始术语的实际含义。因此，由原始概念和公理决定的形式结构可以比它们在给定的特殊理论中具有更广泛的应用，在这个意义上，我们可以通过对原始术语的任何解释来获得假设的演绎系统关于某些主题，即使假设在许多情况下是错误的。
这个事实在公理系统的研究中是至关重要的。然后我们可以想到一个模型公理理论作为一个对象和关系的系统，它为原始术语提供参考，从而使公理成为现实。我们可以认为公理化是在考虑特定模型的情况下进行的，但事实并非如此；无论如何，人们对研究其他可能的模型很感兴趣。（虽然在本次讨论中我们可能允许超越纯逻辑的演绎方式，但应该是这样的，如果一个命题可以从理论的公理中演绎出来，那么它在理论的所有模型中都必须是真的。将其作为可演绎性的充分条件可能是合理的，但如果是这样，则模型的概念似乎必须具有与可演绎性的概念相媲美的相对性。）
例如，假设我们考虑绝对几何——即没有平行假设的欧几里得几何。那么任何欧氏几何模型或标准非欧几何模型都将是绝对几何模型。如果平行公设可以从欧几里得几何的其他公理——即从绝对几何的公理——推出，那么它在绝对几何的每个模型中都必须是正确的。非欧几何模型的构建表明情况并非如此。如果一个系统的公理不能从其他公理推导出来，我们称它为独立公理。因此，如果通过删除公理获得的理论有一个模型，其中是假的，那么 是独立的。
这不仅仅是出于历史原因，还被视为公理方法的成果。寻求公理基础因为数学理论也是在寻找一种形式的论证，使它们更普遍适用，赋予它们一种可以在一般结构类型的定义中表达的一般性。
1.3.形式化公理方法的一个发展倾向于用定义代替公理，而另一个发展导致形式系统的概念。理论公理化的一个结果是原始术语的含义与演绎无关。如果我们将这种从意义抽象到它的极限，我们就可以涵盖逻辑公理化的情况，并一劳永逸地解决允许使用何种演绎方法的问题。也就是说，我们在公理系统的构建中以进一步公理和推理规则的形式对所有被允许的推理手段（例如逻辑和基础数学）进行了完整的说明，允许我们进行推理从某些给定形式的陈述另一种给定形式的陈述。如果这一切以最严格的方式完成，因此，只能使用公理和明确定义中规定的术语的尽可能多的含义，然后根据表达系统的“语言”形式的设计简单地规定系统。“Linguistic”被放在引号中，因为很多语言总是被人为的句法所取代。我们留下了将某些符号串作为“公理”和某些规则的规范，每个规则都允许我们从某些先前的字符串中“推断”出一个新的字符串。我们可以通过连续应用规则从公理中获得的字符串可以称为 表达的形式。“Linguistic”被放在引号中，因为很多语言总是被人为的句法所取代。我们留下了将某些符号串作为“公理”和某些规则的规范，每个规则都允许我们从某些先前的字符串中“推断”出一个新的字符串。我们可以通过连续应用规则从公理中获得的字符串可以称为 表达的形式。“Linguistic”被放在引号中，因为很多语言总是被人为的句法所取代。我们留下了将某些符号串作为“公理”和某些规则的规范，每个规则都允许我们从某些先前的字符串中“推断”出一个新的字符串。我们可以通过连续应用规则从公理中获得的字符串可以称为定理。
对形式系统概念的正确解释需要更多的设备。此过程的准确性要求使用的符号串由预先指定的材料构成，我们可以假设这是一个有限的符号列表。在这些符号的字符串中，我们挑选出一个子类，我们称之为公式（或格式良好的公式，wffs），在解释中，我们会给这些字符串赋予意义。（non-wffs 对应于不合语法的句子。）然后将某一类公式挑出来作为公理。
在这种情况下，我们可以解决我们最初的公理化粗略概念的另一个歧义。问题是关于一类陈述必须满足什么条件才能适合作为公理理论的公理。一旦我们采取抽象的观点，各种认识论的需求，例如预期模型的不言而喻的真理，就被搁置一旁。过去发现的另一个很自然的要求是单个公理和公理类作为一个整体都应该具有一定的简单性。关于个别公理的简单性的一般理论的方式在数学基础的研究中没有发挥多大作用，
为了表征过去使用过的重要公理系统，我们必须对公理的类别进行一些限制。在传统情况下，类是有限的。然而，这样一个公理系统的形式化可以产生一个无限系统——例如，如果我们将某个模式的所有实例都作为公理。
用于代替有限类公理的限制是基于公式、公理和定理的概念要在句法上指定的事实。那么要求是有一个机械的或有效的程序来决定一个给定的公式是否是公理，以及一个给定的推论（来自有限多个前提的公式）根据推论规则是否正确。鉴于公理理论中的陈述的证明应包含证明该陈述确实在该理论中是可断言的所有数学上重要的信息，这一要求是很自然的。有人争辩说，如果需要一些超越机械检查的东西来确定证明的正确性，则情况并非如此。（不过需要指出的是，
形式系统的概念给出了最高程度的一般性，因为没有任何象征主义元素的解释受到限制。事实上，它允许我们在不参考解释的情况下制定关于公理理论的大部分内容，因为公式、公理和推理规则是在不参考解释的情况下指定的，然后定义什么是定理，再次没有这样的参考。因此，形式系统理论的完整划分——通常称为句法——可以只用一种启发式的解释来建立。特别是，迄今为止在非正式阐述中依赖的内涵概念——概念、命题等——可以消除。
形式系统的概念也为理论的制定带来了最高程度的精确性，代价是与数学家的具体活动相关的进一步理想化。此外，该概念不仅为公理化提供了精炼的公式，而且允许对公理系统进行数学研究，其范围比没有它时可能的范围更广，而且还使得对数学方法差异的精确表述成为可能。将公理化方法推向这一极限，可以为解决有关数学基础的各种问题提供一种新方法。
既然公理化是以更精确的形式呈现理论（如果不是从理论的某些特定方面中挑选出来的话），那么公理化的理论不能在所有方面都与以前的理论相一致。然而，它可以取代之前已经发生的事情，并且在许多情况下实际上已经这样做了。从公理化到形式化的过程在一个重要方面比非正式公理化的各个阶段更为激进，因此我们可以认为理论的形式化与其说是理论的更精确表述，不如说是理论的理想化表示。用人工符号代替自然语言表达的过程，在所有数学发展中都在进行，在这里被带到了一个极端。例如，我们通过定义规定什么是“公式”和“
随之而来的事实是，我们在制定和反思理论时所使用的基本一般概念——句子、命题、演绎、公理、推理、证明、定义——在正式版本中被明确定义的、或多或少简化和理想化的替代品所取代。特别是，尽管我们“解释”了形式化的理论，但符号或形式系统与其在某些模型中的参考之间的关系是“死”对应，这是两个对象系统之间纯数学关系的一个方面。这使人们能够避免语言表达如何变得具有“意义”并随之而来的指称的棘手问题，因此是一种非常有价值的抽象。但它是一种抽象；此外，这并不意味着非正式的语言和智力装置完全消失，因为它仍将用于形式化理论的建立和研究。实际上，——也就是说，对于元理论。如果元理论依次公理化然后形式化，同样的情况会出现在下一个更高的层次上。
这一观察的重要性难以评估，但它与我们稍后将讨论的许多问题相关——特别是试图从数理逻辑的结果到哲学结论的争论。
§2. 认识论讨论2.1.先验知识我们现在将公理化和形式化的问题放在一边，从一般认识论的角度考虑数学。我们讨论的主线将是这样一个事实，即哲学中一个强大的传统将数学，或者至少是其中的一部分，视为先验知识的中心案例。这意味着对数学的反思一直是关于先验知识概念的哲学讨论的中心。
导致数学是先验的结论的数学特征是它的抽象特征，伴随着巨大的普遍性和它的精确性和确定性，而这实际上在传统上被认为是绝对的。因此，甚至在对数的概念进行成熟的逻辑分析之前，我们发现将“2 + 2 = 4”解释为可以通过观察检查的假设的努力遇到了明显的障碍。声明所指的抽象实体、数字可能不是那么重要，它们不是我们观察到的那种事物。数字的概念确实适用于经验给定的对象，因为它们可以被计数，并且因此归于它们的数字将遵守诸如“2 + 2 = 4”之类的定律。所以，迄今为止，该提议可被视为有关此类实体的法律。即便如此，它的应用范围仍然如此巨大，遍及整个物理宇宙，以至于很明显，如果将其视为一种假设，至少会被具有批判性思维的科学家以更合适的方式陈述和使用。换句话说，如果基本算术命题是基于观察的定律，那么我们将其归于基本算术命题的确定性将是毫无根据的。即使在我们不将这种确定性程度归因于数学原理的情况下，例如选择公理和连续统假设，可能的“相反证据”也可能来自所涉及理论的演绎发展（在示例中，集合论），而不是来自观察。即便如此，它的应用范围仍然如此巨大，遍及整个物理宇宙，以至于很明显，如果将其视为一种假设，至少会被具有批判性思维的科学家以更合适的方式陈述和使用。换句话说，如果基本算术命题是基于观察的定律，那么我们将其归于基本算术命题的确定性将是毫无根据的。即使在我们不将这种确定性程度归因于数学原理的情况下，例如选择公理和连续统假设，可能的“相反证据”也可能来自所涉及理论的演绎发展（在示例中，集合论），而不是来自观察。即便如此，它的应用范围仍然如此巨大，遍及整个物理宇宙，以至于很明显，如果将其视为一种假设，至少会被具有批判性思维的科学家以更合适的方式陈述和使用。换句话说，如果基本算术命题是基于观察的定律，那么我们将其归于基本算术命题的确定性将是毫无根据的。即使在我们不将这种确定性程度归因于数学原理的情况下，例如选择公理和连续统假设，可能的“相反证据”也可能来自所涉及理论的演绎发展（在示例中，集合论），而不是来自观察。很明显，如果将其作为一种假设，至少会被具有批判性思维的科学家以更合格的方式陈述和使用。换句话说，如果基本算术命题是基于观察的定律，那么我们将其归于基本算术命题的确定性将是毫无根据的。即使在我们不将这种确定性程度归因于数学原理的情况下，例如选择公理和连续统假设，可能的“相反证据”也可能来自所涉及理论的演绎发展（在示例中，集合论），而不是来自观察。很明显，如果将其作为一种假设，至少会被具有批判性思维的科学家以更合格的方式陈述和使用。换句话说，如果基本算术命题是基于观察的定律，那么我们将其归于基本算术命题的确定性将是毫无根据的。即使在我们不将这种确定性程度归因于数学原理的情况下，例如选择公理和连续统假设，可能的“相反证据”也可能来自所涉及理论的演绎发展（在示例中，集合论），而不是来自观察。如果基本算术命题是基于观察的定律，那么我们将其归于基本算术命题的确定性将是毫无根据的。即使在我们不将这种确定性程度归因于数学原理的情况下，例如选择公理和连续统假设，可能的“相反证据”也可能来自所涉及理论的演绎发展（在示例中，集合论），而不是来自观察。如果基本算术命题是基于观察的定律，那么我们将其归于基本算术命题的确定性将是毫无根据的。即使在我们不将这种确定性程度归因于数学原理的情况下，例如选择公理和连续统假设，可能的“相反证据”也可能来自所涉及理论的演绎发展（在示例中，集合论），而不是来自观察。
此外，似乎我们应该能够设想一个可能的观察结果，这将是一个反例。虽然这可能不是很明显，但想到的想法要么导致对可理解性可疑的描述，要么导致对假设其他异常情况显然更合理的情况的描述（例如错误计数或可能神秘的外观）或物体消失）而不是承认“2 + 2 = 4”的例外。
另一个困难是，数字的概念必须适用于可观察的具体实体的范围之外；像数学对象这样的抽象实体必须被计数，超验实体似乎也是如此。
只有在对数进行更发达的形式分析和对算术定律与实际计数之间的关系以及数学在经验科学中的作用的更详细讨论的帮助下，上述考虑才能发展成为决定性的论点。无论如何，他们并没有反对另一种形式的否认算术是先验的，认为算术定律是一种非常基本的理论原理，因此我们在特定情况下更“不愿放弃”比更多的日常信念或印象，甚至比科学中的基本理论原理更重要。尽管如此，这种观点仍然可以想象，为了应对某些困难，例如，
2.2.数学和逻辑上述考虑说明了为什么有必要在认识论讨论中加入技术分析。我们将尝试证明数学——尤其是算术——是逻辑的一部分，作为我们的指导线索。这种尝试在数学概念的逻辑分析中产生了一些最重要的结果。数学可以简化为逻辑的观点是我们前面提到的关于数学基础的主要普遍观点之一。它通常被称为逻辑主义，其经典表述是弗雷格和罗素的著作。
即使成功，将数学简化为逻辑本身也不能说明数学中如何存在先验知识，因为它只会将这种说明的问题简化为与逻辑有关的相应问题。尽管如此，传统上已经发现数学的先验特征可能比逻辑稍差一些。数学的主要任务之一是理论的演绎发展这一显而易见的事实已被发现是数学是先验的这一主张的最有力的支持之一。我们可以期望成功地将数学简化为逻辑将简化先验知识的问题，而不仅仅是将两个问题替换为一个。逻辑更难免：如果不使用逻辑词并根据逻辑规则进行推理，我们就无法进行思考。这表明逻辑实际上比数学更基础，而且更肯定是先验的。（这也表明逻辑的哲学处理更容易循环。）此外，在历史进程中，哲学家们已经为数学援引了证据来源，这些证据至少在表面上是特殊的，例如康德的纯直觉。因此，将数学简化为逻辑可能会使某些困难的认识论理论变得多余。在历史进程中，哲学家们为数学援引了证据来源，这些证据来源至少在表面上是特殊的，例如康德的纯直觉。因此，将数学简化为逻辑可能会使某些困难的认识论理论变得多余。在历史进程中，哲学家们为数学援引了证据来源，这些证据来源至少在表面上是特殊的，例如康德的纯直觉。因此，将数学简化为逻辑可能会使某些困难的认识论理论变得多余。
逻辑主义的主张很大程度上基于公理中的数学工作。许多 19 世纪的研究表明，分析的基本概念——例如有理数、实数和复数——可以根据自然数理论和更一般的概念来定义，并且证明基本定理类和功能。同时，在自然数的算术中进行了公理化工作，最终导致 Richard Dedekind (1888) 和 Peano (1889) 的公理化。随着弗雷格和皮亚诺学派的工作，正式化运动开始得稍晚一些。
因此，将数学简化为逻辑的努力出现在所有纯数学日益系统化和严谨的背景下，由此产生了建立一个全面的形式系统的目标，该系统将代表除几何之外的所有已知数学，在此范围内因为它是一种物理空间理论。（但在那一代的作家中，只有弗雷格对形式系统有严格的概念。）然后，逻辑主义的目标将是一个具有自然解释的综合形式系统，这样原语将是逻辑概念和公理是逻辑真理。
我们将以弗雷格的介绍为指导，尽管他在他的系统内发展数学并没有走得太远，当然，这个系统结果是不一致的。尽管如此，弗雷格的工作已经很清楚如何定义原语并证明算术标准公理化的公理。我们将从对数和类概念的一些讨论开始，这些概念对于归约和一般的数学基础至关重要。
2.3.计数和数为了更清楚地了解数的概念，我们不妨先从计数运算说起。在仔细计算一组对象的简单情况下，我们可能会依次查看并指向每个对象，并且随着注意力的每个方向，我们会想到或说出一系列标准符号（数字）中的一个来代替它这些符号的标准顺序。在此过程中，我们会小心地一次且仅一次地到达这些对象中的每一个。因此，我们在对象和一系列数字的某个部分之间建立了一对一的对应关系。我们说集合中对象的数量是__________，其中空白由系列的最后一个数字填充。
在进一步探讨这个问题之前，让我们检查一下数字序列本身。我们有一些初始符号和规则来构造进一步的符号，这些符号的应用可以无限地迭代。我们可以在实际语言中简化这种情况，假设有一个初始符号，比如“|”，以及一个生成操作，连接另一个“|”，这样数字将是 |、||、|||、| |||, · · · , 然而，从长远来看，普通数字更简洁，这仅仅是“实际方便”的问题，这一点尚不清楚：如果一串数百万个“|” “作为计数的结果提供，人们必须计算它们才能知道数字是多少。
然而，值得一问的是，纯自然数概念是否需要产生这样一串符号的可能性。这里的“符号”是指墨迹吗？只有某些保留。我们生成的特定斑点根本不是必需的。如果我们写别人- |，|| |||，||||，· · · -他们会做一样好。事实上，我们可以选择有很大的不同形式的符号，还是产生了相当的东西给我们的目的，如+，++，+++，· · ·，或者根本不包含在纸上的标记的东西，例如声音，当然是实际使用的。只要它能够向我们表示产生这些符号序列的连续生成过程，任何事情都可以——任何可感知对象的集合都可以与我们的第一个保持顺序保持一一对应。符号序列。
因此，墨滴代表了一个相当抽象的结构。这种抽象允许我们（甚至在从属级别）忽略斑点的一些限制，除了它们的特殊性和对特定地点和时间的伴随有界。它们是根据生成连续程序的程序构建的，重要的是程序中包含的结构，而不是执行过程中可能遇到的任何特定限制。在足够抽象的层面上，我们说我们可以无限地继续产生符号，尽管生命太短，纸和墨水用完，地球可能会解体等等。
这里我们已经采取了引入抽象实体的步骤。在弱形式中，这可以表示为将实体之间的某些抽象等价关系（例如，纸上的标记）作为新类型实体（例如，符号作为类型或进一步的数字）的身份标准。但是我们已经到了涉及更多的地步，因为由给定等价类的所有标记表示的抽象实体属于一个系列，该系列可以远远超出构建代表的任何实际可能性。我们可以通过诉诸空间、时间和理论物理来创建“伪具体”模型，但那时我们已经依赖于抽象的数学对象。鉴于我们确实认为数字是指数字，很自然地不仅要引入同一性而且还要引入量化的装置。然而，这种量化的某些用途将涉及比我们迄今为止发现的更强大的预设，我们将在考虑柏拉图主义和建构主义时讨论这些预设。
2.4.算术公理到目前为止，我们已经理所当然地认为自然数是通过从某个初始元素 0 开始并迭代“后继”或“加 1”的操作来获得的。
然而，在这种情况下，我们必须假设后继关系是以公理（2）、（3）和（4）显而易见的方式给出的。我们可能认为“0”用“|”表示 以及由另一个“|”表示的后继函数 到一个字符串。然后，将这些公理视为显而易见的，显然需要空间直觉。在那种情况下，归纳原理（5）将在某种程度上是（c）的结果。它可以简单地被视为对 ( c ) 的一种解释，或者人们可能会争论，就像路德维希·维特根斯坦( Ludwig Wittgenstein)显然曾经做过的那样（参见弗里德里希·韦斯曼 (Friedrich Waismann)，数学思维导论，通道。8），所有自然数的意义不是由这些规范和我们独立的“所有”概念赋予我们的，归纳原理作为一个命题对所有自然数都为真的标准。
2.5.类的概念（集合）在我们进一步讨论数的概念之前，有必要对类或集合的概念进行一些解释。我们将考虑两种解释，一种是康托建议的，另一种是弗雷格建议的。
2.5.1.弗雷格的解释Frege 没有使用术语class或set，而是使用短语“概念的扩展”。弗雷格的用法是基于将语言的谓词视为站在可量化的位置的倾向——约翰是哈佛人。亨利是哈佛人。∴约翰和亨利有一些共同点——并且倾向于从一般术语中提取抽象单数术语，这些术语通常被解释为指的是特性或属性。
这两种倾向是可以分开的。弗雷格认为上下文中的谓词实际上指的是概念，而不是对象。概念，就像谓词本身一样，有论证的地方；弗雷格称谓词和概念都是“不饱和的”，因为只有参数位置由一个对象（在谓词的情况下，一个专有名称）填充，它们才能“独立”。
2.5.2.康托尔的解释不使用相同类型的词，只是更模糊（“集合”、“多”、“ Inbegriff”），几乎不可能解释康托尔的集合概念。我们或许可以通过提及将众视为统一体的几种方式来接近它：通过谓词来思考——也就是说，通过被置于弗雷格意义上的概念之下——这样弗雷格的扩展也许可以被视为集合，或者以某种方式立即引起人们的注意，即使没有语言的干预；特别是，有限数量的感知对象可以构成一个集合。对象必须是“确定的和可区分的”意味着它必须确定元素是什么，元素的同一性和差异性必须明确定义，并且集合必须由其元素确定。
在这方面，人们倾向于认为集合是由其元素“组成”的，但这不是必需的，并且可能会导致集合与时空总和的混淆，而是空间或时间的一部分（例如，几何数字）可以通过多种方式进行划分，因此部分的集合将不同，但总和将始终相同。
有限集的图景可以以这样一种方式扩展，以至于人们可以想象一个独立于任何谓词的“任意”无限集。假设它是一个自然数的集合S。我们通过自然数逐一确定每个ñ是否ñ是的成员小号（ñ ∈ 小号）与否。尽管确定需要无限长的时间，但是对于每个n确定n ∈ S。（或者我们可以想象它是由上帝一次性完成的。）
2.5.3.这些概念的难点康托尔和弗雷格的集合概念都有一些困难，在发现集合论悖论之前，逻辑学家和集合论者并没有清楚地意识到这些困难，如下所述。我们在这里只提到一个困难的来源。在这两种理论中，集合或外延都应该是一个对象，能够成为集合的成员。这会不会导致循环——也就是说，一个集合是由某些对象形成或构成的，其中包括它们本身？（或者，在弗雷格的术语，在上式6的右侧的量词的范围中的对象之间的X Fx的和X的Gx 这些对象的同一性条件，从弗雷格的观点来看是它们本质的一部分，似乎取决于关于它们的特定事实。）
我们目前不会谈论困难的具体形式或如何解决这些困难。我们将继续有点模糊地使用二阶量化；人们可以将变量解释为覆盖弗雷格的概念，在大多数情况下，覆盖类甚至内涵实体，正如我们最初的“属性”一词所暗示的那样。
2.6.弗雷格对数的分析我们现在可以继续弗雷格论证算术是逻辑的一部分的论点的主要步骤。弗雷格观察到，比方说，F的数量（我们将写为“ N x Fx ”）与G的数量相同的一个必要和充分条件是，应该存在一对- F和G的对应关系。（在那种情况下，我们说它们在数值上是等价的。）这个标准非常普遍——也就是说，不限于只有有限多个F或G的情况——已经被康托利用来将基数的概念推广到无限类。这可以通过我们上面对计数和数字的讨论来证明。
2.7.逻辑主义的困难弗雷格构造的第一个困难当然是弗雷格对可拓概念的使用。我们已经提到了集合论思想的困难；他们通过罗素在 1901 年对（6）中的矛盾的推论影响了弗雷格的系统。（关于罗素与弗雷格的最初信函往来，见 van Heijenoort，1967）。我们将在下面讨论罗素悖论和其他悖论以及类概念的难点。
尽管如此，事实证明，一个合理安全的集合论系统可以通过多种方式中的任何一种来开发，这些方式对于皮亚诺原语的定义和他的公理的证明来说绰绰有余。事实上，集合论系统的公理装置的任何部分都没有必要对一致性产生任何怀疑。我们可以说，如果一个数学分支的集合论的发展必然涉及到集合论中更强大和更成问题的部分，这是由于数学分支本身的性质，而不是归结为集合论。
对于算术的发展而言，这种成功并非没有损失：似乎在更自然的集合论系统（类型理论，策梅洛的集合论）中，无法以相同的自然外观给出“ N x Fx ”的定义如（10）。罗素的类型理论的后果更为严重：每个类型的数字必须重复。人们通常最终做的是以某种任意方式使用所需订单类型的一组序列来识别数字。
鉴于这一切都已经完成，企业在什么意义上是算术到集合论的简化，在什么意义上它是逻辑的简化？首先回答最后一个问题，显然，除非所涉及的集合论的原理可以算作逻辑原理，否则该构造不会将算术简化为逻辑。阶级的概念与在传统逻辑中发挥作用的概念相去甚远。从这个角度来看，为什么一阶谓词演算已经是传统形式装置的相当大的扩展，为什么应该算作逻辑而类理论不应该算作，这一点就完全不明显了。
一个区别是，如果量词被解释为涵盖对象的任何域，并且不特别考虑其基数，则一阶逻辑的有效公式将产生真理，而集合论涉及存在假设，因此域量词范围必须足够大，以包含其存在由相关公式暗示的集合的代表。在弗雷格的过程这些假设都体现在接纳作为抽象“的术语X Fx的”为任何谓词“ ˚F，”和（6）简单nonparadoxical实例已经要求弗雷格的宇宙包含无穷多个对象。
当然，弗雷格将 (6) 视为一个逻辑原则，这一观点因其不一致而被驳斥。如果集合论的存在假设都遵循一个单一的一般原则，例如（6），那么将集合论视为逻辑会更合理。但是由悖论激发的对集合论基础的分析指出了相反的结论：任何非常确定的存在假设系统都将被证明是不完整的，因为总是有可能构建更强大的存在假设（在这个意义上）一阶，甚至二阶逻辑）。此外，这些假设具有与构造原理相似的特征，因此将它们视为“纯粹直觉中的构造”的假设和类比扩展至少是自然的 因为它是考虑它们的逻辑原则。无论如何，如果逻辑包含所有连贯推理的必要原则，那么集合论中更强大的原则似乎显然不具有这种特征；即使较弱的逻辑也有它（也许甚至所有一阶逻辑都有），也远不能确定。既然如此，将算术简化为集合论对增加算术基础的安全性和清晰度几乎没有作用。
2.8.康德的观点弗雷格、罗素和许多后来的支持者在寻求将算术简化为逻辑时所考虑的目的之一是表明，在算术中不需要诉诸可感直觉，正如约翰·斯图尔特·密尔等经验主义者所声称的那样。康德的先天直觉理论。让我们考虑一下这个目的是否已经实现。由于康德的观点构成了解释算术先验特征的独立努力，并且由于它是极具影响力的一般哲学的一部分，因此值得特别提及。
康德一开始坚持认为数学判断（至少是最典型的判断）是综合性的，而不是分析性的。我们不会讨论他的意思。如果人们记得康德的逻辑范围比我们的范围窄得多，那么假设他的数学判断是综合的主张意味着数学理论的命题不能从逻辑定律和定义中推导出来，这是有道理的。康德的主要例子，空间几何，这个例子似乎很清楚，例如，存在一致的几何理论，这些理论在某些基本原理方面有所不同，例如平行假设。（然而，即使在这里，人们可能会声称，原则上的差异对应于原始术语含义的差异。在实际空间的应用中，这归结为几何学中的“传统主义”问题。WV Quine 的观点可能是正确的，即人们通常无法确定这种差异是否仅仅是意义上的差异。）
如果我们否认集合论是逻辑，算术的情况就呈现出某种相似性。集合论发展中的证明，即使是诸如“2 + 2 = 4”这样的基本算术定律，也依赖于这些理论的存在公理。然而，这并不意味着我们可以像对几何原理一样清楚地理解这些原理的错误。虽然我们可以简单的设置站点中存在的公设会失败，但并不清楚这算作构思是数字0，1，2，· · ·不应该存在的。
康德继续坚持认为，几何原理和算术原理的证据都依赖于“我们感性直觉的形式”。特别是，他说数学论证是通过“在纯直觉中构建概念”进行的，因此它们诉诸于感性直觉的形式。根据康德的说法，数学证明需要呈现某些概念的实例。这些事例不会完全作为细节发挥作用，因为人们无权断言任何与一般概念无关的事情。尽管如此，还是可以得出综合的结论，因为实例的构建不仅涉及作为抽象结构的纯概念，还涉及它的“图式”
因此，几何图形将服从几何学的公理，即使这些公理不能通过概念分析来证明。同时，这些构造将用于验证所涉及的任何存在假设。（事实上，康德谈到的不是存在主义公理，而是断言某些构造的可能性的假设。）
在算术的情况下，康德认为为了验证“7 + 5 = 12”，必须再次考虑一个实例，这次是以五个对象的集合的形式，并将每个一个连续地添加到给定的七个集合中. 看起来，虽然这五个对象可能相当随意，甚至是抽象的，但如果它们本身不呈现给知觉，它们将被呈现的符号表示，这些符号呈现出相同的结构。事实上，我们甚至在“7 + 5 = 12”的形式证明中所涉及的符号运算中也发现了这种结构，无论是在集合论中还是直接从初等数论的公理中——甚至在第一公式的证明中——顺序逻辑
直觉在数学中扮演重要角色的论点在某种程度上不可避免地是主观主义的，因为它们从对陈述及其真理所需的直接语义考虑过渡到对数学所涉及的操作的更务实的考虑。理解和验证它们（甚至可能在广义上“使用”它们），并对作为符号配置的公式和证明进行元语言反思。戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz ) 已经强调了符号计算在数学中的重要作用，而对康德而言，这一作用成为数学依赖于感性直觉的论据。
如果我们注意到集合论和算术的完全抽象性，我们就会明白为什么这些论点必须具有这种主观主义的特征，它们在逻辑运算（命题组合、量化）方面一般地谈论对象，这些逻辑运算同样是一般的。甚至特定的数学对象（集合和数字）也仅受理论的约束，仅受某些结构的、关系的条件的约束，因此它们似乎不是由理论单独识别的。因此，内容不暗示任何直接的感官验证；事实上，任何可以进行这种验证的命题似乎都必须包含对空间或时间或本质上仅在空间和时间中发生的物体或属性的某些特定参考。虽然是弗雷格'
尽管如此，至少从哲学和数学经验来看，我们似乎不能独立于感官直接验证这些命题，甚至理解它们。确定一般心灵运作对感官的依赖的确切性质是所有哲学的核心困难之一。但是，很难坚持认为我们理解数学结构，甚至是作为其基础的对象的一般概念，而至少没有从可感知的表示开始，因此具体的解释既利用了可感知对象的结构的体现，也利用了反射关于象征主义。例如，对阶级概念的解释可以利用对语言的诉求，就像弗雷格的解释那样，或者从一组可感知对象的概念开始。（事实上，似乎即使在第二种情况下，诉诸语言迟早是必不可少的。）
也许比这些相当模糊的考虑更具决定性的是，我们无法在数学中进行任何相当复杂的推理，而这似乎是让自己受制于符号表示的摆布。在构建证明或计算之前，我们不知道任何实质性数学问题的答案。证明可以被构造，计算结果是这样，可以说是一个残酷的事实，没有它，人们就看不到数学状态是什么的任何理由。
有人可能会争辩说，自然数n的存在是通过实际构造一个直到那个点的数字序列来验证的。这种构造提供了直到n的数字的表示。值得注意的是，它或心理上的等价物对于全面和明确地理解数字n的概念是必要的. 这使得这种表示的可能性取决于“我们感性直觉的形式”的观点具有一定的合理性，因为属于特定实现内容的一切都是非本质的。像康德那样谈论“纯粹直觉”也许是允许的，因为我们能够将符号视为代表或体现抽象秩序。这个概念可以扩展到小数算术基本命题的直观验证。如果这些命题在其全部一般性方面确实是显而易见的，因此是必要的，那么这个概念就可以对这种证据的性质提供一些洞察力。
然而，当我们通过一般规则来构造自然数列时，上面的描述已经不再适用，因此当我们考虑大数时，我们必须用一般规则来描述。除了我们能够使用感官表征来思考它们所体现的抽象结构所表明的“抽象因素”之外，还有一个具有更高普遍性的因素和伴随的迭代可能性，因此自然数序列远远超出那些用数字表示的，实际上是可以构造的。这里“直觉的形式”概念的含义不太清楚。然而，康德的想法肯定是，更大的数只被认为是我们实际经验结构的延伸。
康德将算术与时间联系起来作为我们内在直觉的形式，尽管他并不打算由此否认算术中没有直接参考时间。显然，这种主张是对数字的完全明确的认识是对其构造阶段的连续理解，因此所涉及的结构也由时间的序列表示。因此，时间为任何可以在经验中实现的数字提供了实现。尽管这种观点足够合理，但在超出实际经验的必要推断中保留与时间的联系似乎并不是绝对必要的。然而，将数学构造视为一个时间过程是解释构造性问题的有用图景（下文讨论）。
康德的观点使我们能够更准确地了解直觉在数学中的作用，但是，至少如上所述，它并不能真正令人满意，因为它或多或少地将我们将感知置于数学中的能力视为事实。定义的结构，并通过使用可感知的对象来象征它来了解有关该结构的真相。康德主义的巨大吸引力来自这样一个事实，即其他观点似乎无法做得更好：例如，弗雷格在认识论分析方面的表现不如康德，尽管他的逻辑技术更加精致。
2.9.约定主义已经在约定主义的基础上做出了完全避免教条主义的尝试，同时仍然肯定数学中的先验知识的存在，这是基于先验知识的典型逻辑实证主义观点。这种观点实际上拒绝了数学中的证据问题：数学陈述不需要证据，因为它们根据法令是真实的，凭借我们指定数学中出现的词的含义的惯例。因此，数学“没有事实内容”，甚至是“空洞的”。
在我们继续讨论这个观点之前，我们应该将它与其他两种与逻辑实证主义相关的观点区分开来，即数学陈述根据其中单词的含义而为真的观点以及它们是分析性的观点。数学陈述因其所含词的含义而为真的学说有些含糊，很可能会归结为它们是分析性的、约定俗成的或与康德主义或什至某种形式的直接实在论相容的学说. 如果存在不只是通过命令而成立的客观意义关系，那么在这种观点中，需要说明我们对它们的知识的证据，就像数学本身的证据一样。
数学是分析的这一观点通常一方面与逻辑主义有关，另一方面与约定主义有关。已经给出的“分析的”定义使得逻辑真理自动地是分析的。如果数学是分析的命题比逻辑主义的命题说得更多，那么定义就必须被视为解释一个具有更直接认识论意义的概念，通常是意义的真理或惯例的真理。（一旦这样做了，与逻辑主义的联系似乎就不那么重要了，尽管逻辑实证主义者认为它很重要。因此，可以通过说它们是“意义假设”在卡尔纳普的意义上，但人们同样可以争辩说数论的公理是意义假设。由于其他原因，逻辑主义对逻辑实证主义者很重要：还原是一种方法论范式；它服务于“科学的统一”。）
数学的命题在强烈的意义上应该是约定俗成的，一个人应该实际上已经建立了决定它们应该是真的约定，这似乎只有通过公理系统的显式构造和识别对数学的“理性重建”才有可能系统与数学。如果可以执行这样的程序，那么仍然有讨论的余地，它表明那些对基础不感兴趣的人所实践的数学按照惯例是正确的。
通常的约定主义立场诉诸于规定某些命题按照约定为真的规则，或者更多情况下诉诸于另一种规则（例如解释形式系统的语义规则），从中可以推断出某些陈述为真，前提的性质使得它们可以被称为控制表达式使用的约定。（例如，作为经典命题演算定理的替换实例的任何陈述的真值都可以从命题连接词的真值表中包含的信息中推导出来。那么如果将真值表视为指定连接词的意义，那么经典命题逻辑的定理就因这些规则而成为真。）
在最简单的情况下——通过规则或在个别情况下简单地规定某些句子将被视为表达真实的陈述——似乎需要更多的东西来证明这个程序将“真相”归于“陈述”。然而，没有一个严肃的哲学家会满足于将这件事搁置一旁。
尽管如此，由规则指定的程序遇到了一个基本上独立于规则的形式及其解释方式的困难。这个困难，在他的职业生涯早期（在“约定的真理”中）被奎因强有力地指出，并且可能隐含在弗雷格的评论中，是从作为实际明确约定的一般陈述到约定的真理的过渡具体陈述涉及推理。因此，从表面上看，本质上合乎逻辑的事情并没有通过分析简化为惯例。推论将假定具有普遍性的特性（例如全称量词的特性）和条件的特性，因为规则很可能具有条件的形式——例如，他们可能会说，如果一个陈述满足某些条件，那么按照惯例它就是真的。在我们给出的例子中，我们还需要额外的矛盾律和排中律：真值表的应用已经假设每个陈述都有两个真值中的一个，而且只有一个。
奎因表明，试图将推论所依据的规则视为其自身根据惯例有效会导致无限倒退。例如，假设一个规则是肯定前件：由“ p ”和“ p ⊃ q ”推断“ q ”。
上述论点不会阻止这种形式的约定主义应用于数学的其他部分，特别是存在公理。鉴于逻辑中的可推导性陈述与数论中的初等命题之间的等价性，以及推导存在中的上述蛮力因素，这种方法不太可能适用于初等数论。但是，对于集合论的更强大的公理系统，该观点的基础更加牢固，因为这些公理通常不能通过诉诸直接证据来证明，“实用”标准在公理的选择中发挥了作用。
尽管如此，这个过程也与科学中假设理论的建立有很多共同之处，事实上，正如阿尔弗雷德·诺斯·怀特黑德和罗素已经强调的那样，公理受到其结果的某种检查，因为一些命题可以推导出从它们中可以通过更基本和明显的数学方法来确定。如果一个公理系统由于其结果与直觉数学相冲突而被另一个公理系统所取代，则“集合”的含义已经改变并且原始公理可以根据先前的含义进行解释以保持正确，这一点并不明显。此外，集合论假设陈述的真值在许多情况下是确定的，而不是由公理确定的——也就是说，按照公约。
事实上，奎因现在认为，显然即使在基本逻辑的情况下，也没有坚实的基础来区分通过惯例使这些原则为真和将它们作为假设（“卡尔纳普和逻辑真理”）。这既是约定主义对整个科学的扩展，也是对它在数学应用中的拒绝。
2.9.1.维特根斯坦的观点在这一点上，我们必须考虑先验真理，甚至是基本真理，被惯例认为是正确的可能性，不是因为它们可能被实际建立的明确惯例所确定，而是因为惯例可以说，逻辑和数学词汇隐含在我们的实践中。仍然可能有人会争辩说，数学原理与自然科学原理或我们坚决接受的其他相当深刻或基本的原理并没有以这种方式充分区分。但是，可以通过对逻辑和数学词的使用方式进行更详细的描述性分析来满足这一反对意见。
然而，这种类型的约定主义必须小心，不要陷入更明确的约定主义的情况，即要求一般意图与其在特定陈述中的应用之间建立必要的联系，而这本身并不由约定解释。似乎唯一真正面对这些挑战的哲学家是路德维希·维特根斯坦( Ludwig Wittgenstein ) 的后期。就维特根斯坦而言，谈论“协议”可能比谈论约定更好，因为对明确约定或“决定”的提及似乎是比喻性的，作为与他所反对的事物形成对比的图画，而不是作为基本的图画理论概念。我们的行为是一致的——例如，我们所说的来自于什么——这是必不可少的。鉴于维特根斯坦对提出理论的免责声明，我们还应该谨慎地将任何逻辑和数学知识的解释性理论归因于维特根斯坦。
即使有这些限制，维特根斯坦的观点似乎也很矛盾，因为为了避免上述陷阱，一致性方面的分析甚至必须扩展到一般规则与其实例之间的联系。这似乎是维特根斯坦哲学研究中关于遵循规则的著名讨论的重点。最终决定规则陈述的意图的是随着时间的推移实际被接受为属于该规则的类型的事实。
维特根斯坦 (I, 185) 举了一个例子，指导某人写下自然数列 0, 2, 4, · · · , 2 n , · · · 的项。在启动教师不主动想，到时候瞳孔是写1000，1002，1004，· · ·，而不是1000，1004，1,008 · · ·。维特根斯坦认为可以想象，学生可能会基于我们无法澄清的误解来做第二件事。此外，可以说，这只是自然历史的一个事实，在这种情况下，我们通常会接受第一个并拒绝第二个——确实，我们自己继续这样。此外，对于之前编写的序列中的步骤，似乎会出现同样的问题，因为将符号识别为已理解类型的标记本身就是规则的应用（参见 I, 214）。
维特根斯坦的批评似乎特别针对与柏拉图主义和康德主义相关的某些心理学思想。书写数字的步骤由规则确定的方式不能通过诉诸对规则中表达的抽象实体的关系的理解甚至教师的意图来解释。根据维特根斯坦，学生如何理解规则的标准在于他实际上采取的步骤。使他们对或错的是他们对我们所做的事情的同意或不同意。
这些步骤确实是由规则决定的，从某种意义上说，在每个阶段我们只接受一个数字是正确的，社会习俗的力量指导我们以我们的方式扩展系列。但这并不意味着维特根斯坦认为他对习俗和训练的诉求构成了对存在的一致或我们感到被规则“强迫”这一事实的完全令人满意的解释，因为这是因为我们是被造就的我们对定制和培训做出反应。
维特根斯坦立场的悖论性质或许可以通过考虑一个复杂的数学证明的情况来揭示，该证明包含以前没有人想到的步骤。这个证明可能会导致一个相当出乎意料的结论。然而，每一步都被每个受过训练的人认为是必要的，它们的组合形成证明是完全有说服力的。（当然，情况并非不可避免：已发表的证据可能是模糊的或有疑问的，并且可能依赖于存在困难的原则。）尽管原则上有可能出现无法解决的分歧每一点，这都不会发生：数学家之间无法解决的争论只是关于基本原理和品味。尽管如此，维特根斯坦在《关于数学基础的评论》中，在谈到我们接受证明时使用了决定的比喻，并说证明为某些概念提供了新的标准；他的术语暗示了意义的变化。
数学所依赖的巨大一致性似乎让维特根斯坦感到惊讶。事实上，在他看来，很难理解这种协议是如何可能的，为什么很少出现矛盾。我们在这里可能会遇到自然事实，但它们是显示出极其规律模式的事实。
维特根斯坦在评论中大量关注计算和证明的讨论，它们与数学真理的关系，以及它们与实验相似和不同的方式。在许多例子中，他揭示了一种类似于康德的观点，即认为图形的构造或公式或命题的排列是证明必不可少的。对于这样一个单一的构造如何能够用于建立一个普遍的和必然的命题的问题，维特根斯坦提出了一个完全不同的答案：在接受证明时，我们接受了构造作为应用新概念的范式，因此，特别是，我们对某些类型的判断有了新的标准。（例如，如果我们通过计算确定 25 ×25 = 625，那么证明有 25 × 25 个某种类型的物体也被接受为证明有 625 个。）同样的问题出现在这些标准的冲突可能性上，因为与协议有关。
在这一点上，我们将结束对数学先验特征的讨论以及证明和解释它的尝试。在数学概念过于笼统和抽象而无法指称经验中的任何特定事物的意义上，无论如何，在对数学概念进行一定程度的逻辑分析之后，它们的先验特征是显而易见的。另一方面，通过我们的讨论，数学的先验证据也许并没有超过某种模糊的信念。在更强大的集合论形式的情况下，人们可能被迫承认证据不是确定性的，因此承认所涉及的原则与科学理论的假设之间存在类比。然而，在算术和初等逻辑的情况下，
§3. 柏拉图主义和建构主义前一节中的讨论表明，数学中的证据问题将根据所强调的数学部分而有所不同。对这些差异的讨论倾向于采取的形式是区分数学中两种广泛的方法论态度，我们将其称为柏拉图主义和建构主义。本节将专门讨论这些态度。
3.1.柏拉图主义我们从柏拉图主义开始，因为它是现代数学家实践中的主导态度，尽管经过反思，他们经常采取形式主义的立场来掩饰这种态度。柏拉图主义是一种方法论立场，与关于数学所处理对象的哲学实在论相一致。数学对象不仅被视为它们的存在独立于认知操作（这可能是显而易见的），而且还被视为与它们有关的事实不涉及与心灵的关系或以任何方式依赖于验证的可能性，具体的或“原则。”
这意味着数学对象的某些总体是明确定义的，从某种意义上说，通过对它们进行量化定义的命题具有确定的真值。因此，柏拉图主义与排中律有着直接的联系，这就产生了柏拉图主义与建构主义的一些不同之处。
很明显，柏拉图主义和集合论之间存在联系。不同程度的柏拉图主义可以根据他们承认什么样的总体以及他们是否将这些总体视为自己的数学对象来描述。这些程度可以通过接受不同强度程度的集合论存在公理来表示。
最基本的柏拉图主义是接受自然数的整体性——即，将排中律应用于涉及对所有自然数进行量化的命题。分析中相当基本的命题已经依赖于这个定律，例如每个有理数序列要么趋向于极限 0，要么不趋向于极限，这是断言任何实数要么等于 0，要么不等于 0 的基础。我们将看到，即使是这种断言也不能免于建构主义批评。
现在所谓的经典分析更进了一步，接受了连续统的点的整体，或者等价地，自然数的子集的整体。19 世纪分析的严格发展和“算术化”体现了这些总体及其在数学中的重要性之间的等价性。我们记得（正负）整数和有理数的理论可以从自然数理论中单独通过有序对的概念发展而来，而这个概念又可以在数论中表示。实数的一般理论需要自然数集合或序列的一般概念，有理数集合或序列的概念可以简化为这些概念。
继保罗·伯纳斯（“河畔乐platonisme丹斯莱数学é matiques”），我们可以认为的自然数集的总体上的有限集合的子集的总和的比喻。给定，比如说，数字 1, · · · , n，每个集合由n 个独立的决定来确定一个给定的数字是否属于它，并且有 2 n确定这一点的可能方法。自然数的“任意”子集由无限的独立确定固定，每个自然数是否属于该子集。不用说，这个过程不能由有限的智能来执行。它设想了集合不是用语言表达的任何谓词的扩展的可能性。
3.1.1.指示性定义如果我们观察到自然数的任意子集的整体性假设证明了非谓词定义、集合或函数的定义是根据它们本身所属的整体性来定义的，那么它的强度就变得清楚了。涉及对所有自然数集合进行量化的自然数谓词将具有明确定义的扩展，它将是量词范围内的集合之一。
这样的定义被批评为圆形（例如，由亨利庞加莱é），但它们似乎不这样，如果我们理解集作为独立存在的，其限定它们，则定义挑选出一个对象从任何程序或语言构造的一个预先存在的整体。非谓语定义遇到的阻力部分是因为它们的接受与每个集合都应该是谓词或至少是人类思维概念的扩展的期望相冲突。
给定任何确定的（形式化的）记法，我们可以通过康托尔的对角线方法定义一组自然数，它不是记法中谓词的外延。因此，通过不断扩展一个符号来生成这样的谓词的过程不可能穷尽整体。如果假设在指定符号之前存在可以通过某些生成过程得出的所有可能的谓词，那么每个集合都是谓词的扩展的想法就没有什么意义了。
如果对经典分析的陈述进行天真地解释，那么非常基本的定理，例如每个有界实数集都有一个最小上限，就需要非谓词性定义。尽管如此，在Das Kontinuum 中，Hermann Weyl 提议在关于自然数的纯粹柏拉图主义的基础上构建分析。他提出了一种解释，在该解释下，最小上限定理是正确的。后来的解释比外尔的解释保留了更多的经典分析陈述，这是一个复杂的技术问题，其中有多少可以被赋予自然的谓词解释（见下文）。
3.1.2.集合论和悖论由康托尔发展并体现在当前标准系统中的集合论涉及更高程度或多种程度的柏拉图主义。例如，Zermelo 的公理系统及其由 Fraenkel 扩展（称为 Zermelo-Fraenkel 系统），允许将给定集合的所有子集的集合形成的过程的迭代以及将集合形成为具有什么的集合的过程。通过迭代应用这个或其他一些生成程序获得。后者允许迭代到超限。如果我们假设我们有超限序数，那么我们可以生成“宇宙” U的超限序列
在它们首次被发现后的一段时间内，许多关注数学基础的人都以极大的震惊看待这些悖论。回想起来，这似乎是因为集合论还很陌生。特别是，集合论的习惯推理和导致悖论的那些推理之间的区别不是很清楚。集合论引起的反对还没有平息。然而，随着时间的推移，悖论的边缘特征似乎越来越明显。很快被设计用来处理悖论的系统（罗素的类型理论和策梅洛的集合理论，均于 1908 年出版）已被证明是令人满意的，因为它们基于相当清晰的直觉思想，并且今天没有人认为它们（或更强大的采尔梅洛-弗兰克尔系统）很可能会变得不一致。这并不意味着集合论的安全性和清晰性是绝对的；在续集中，一些困难将变得明显。
上述宇宙序列使用集合和序数的一般概念，但一次只应用柏拉图主义的特征移动。它放弃了 Bernays 所说的“绝对柏拉图主义”，即所有数学对象的总体假设，这些对象本身可以被视为一个习惯的数学对象——例如，一个集合。这样的概念似乎肯定被悖论摧毁了。集合的总体可以与康德的“理性观念”相提并论：它是一个“无条件的”或绝对的总体，正因为如此，人类的头脑不能充分地构想，因为一个正常概念的对象总是可以包含在一个更具包容性的整体。
如果我们假设每个集合都将出现在U α中的一个中，那么我们就有一个适用于所有现代数学的概念，也许除了最近的范畴理论。这个概念本质上是不精确的：我们限制给定集合的幂集的内容和序数的能力是有限的。将经典逻辑应用于涉及对所有集合进行量化的命题可能是不合理的，因为这样的应用似乎预设了客观地确定存在哪些集合（并且在这个概念上更重要的是，哪些序数）。尽管如此，这种额外的理想化似乎并没有造成任何实际困难。
这种构思集合的方式结合了罗素解决悖论的两个早期思想——类型理论和“大小限制”理论。被拒绝为集合的是最具包容性的总体，例如整个宇宙。（我们谈论“总体”同时拒绝它们作为集合与我们的概念并不矛盾；正如约翰·冯·诺依曼所观察到的，所有必要的只是禁止它们属于其他类。冯·诺依曼的观察是一些新集合论的基础, 主要的是 Bernays 和Gödel.) 此外，这些集合被安排在一个超限的层次结构中：人们可以为每个集合分配一个序数、它的类型或，正如现在所说的，等级，这将是比其成员的等级大的最小序数。因此，我们有类型累积理论的超限扩展。但是，我们的下降，从罗素进行更激进的想法：那一套理论体系的每个变量范围应在指定类型的对象，而“ X ∈ Ÿ ”是毫无意义的，除非“范围Ÿ ”是的键入比之一较高的“ X ”，以便，特别是，“ X ∈ X ”是无意义的。
3.1.3.预测主义在发现悖论后的前二十五年左右，提出了许多更激进的消除悖论的建议。这些通常相当于柏拉图主义的进一步衰减。我们将首先考虑消除非谓词定义的程序，这相当于柏拉图主义对自然数的限制。这是庞加莱的的一般看法成果é和罗素。罗素的原始理论，即类型的分支理论，构成了数学原理的基础，旨在消除非谓语定义，他认为这些定义涉及“恶性循环”并导致悖论。然而，这种效果被他的可还原公理抵消了。
分支理论的一个大大简化的版本如下：一个变量，每个变量都被分配一个自然数作为其级别，以及身份和成员资格的谓词。逻辑是通常的量化理论，只是在量词规则中必须为级别留出余量。
该公理的一个效果是涉及对n级对象进行量化的谓词不需要具有n级的扩展。因此，公理没有断言任何非谓语类的存在；事实上，它与类是由谓词的构造构成的思想相容，谓词是谓词的扩展。
罗素的实际理论结合了层次层次的理论，在这种情况下应用于“命题函数”，即高阶逻辑的变量范围的对象，与“无类”理论，引入涉及类根据命题函数的上下文定义。然而，为了推导出古典数学，他想避免将班级划分为级别。他通过假设可还原性公理来做到这一点，该公理断言对于每个命题函数，都有一个最低可能级别的函数（与其参数的性质兼容）在外延上等价于它。罗素承认这个公理等价于类的存在，并且他一直对此不满意。有效，
如果柏拉图主义的阶级理论被否定但经典逻辑被承认，那么基于分支理论的数学形式化是最自然的形式化。自然数的构造导致了一个困难，即减少归纳为显式定义所需的类量词不再可用。人们必须要么假设自然数，要么拥有不同自然数概念的层次结构。
将自然数作为个体和皮亚诺公理的分支理论将是柏拉图主义所允许的关于自然数的数学的自然形式化。但原则上没有理由不将级别的层次结构扩展到超限。谓词数学的极限问题已与可以谓词引入的超限序数问题相同。
我们已经说过，分析中相当基本的证明在被天真地解释时已经需要非谓语性定义。尽管如此，从最近的工作来看，大量经典分析似乎容易受到自然的预测性解释的影响，然而，这对某些定理来说是失败的。在此基础上，人们可以很好地近似经典分析，但不能很好地近似它的全部。数学中本质上依赖于更强大的集合论的那部分已经完全丢失了。似乎坚持这种限制是不合理的，除非有一些非常有力的理由来拒绝柏拉图主义。稍后我们将讨论一些可能的原因。
3.2.建构主义我们现在将考虑完全拒绝柏拉图主义，我们称之为建构主义。它不是悖论所造成的情况的产物，而是一种精神，它实际上存在于整个数学史上。它所基于的哲学思想至少可以追溯到亚里士多德对无限概念的分析（物理学，Bk. III）。数学康德的哲学可以建构的方式进行解释，并建构想法在十九世纪提出的-尤其是通过利奥波德·克罗内克，谁是直觉的重要先行者-很久以前在反对倾向数学朝集合论的想法，集合论的悖论被发现了。
我们建构的表现在很大程度上依赖于布劳威尔的“直觉”，从1907年的许多出版物提出，但这些想法也可以发现，在柏拉图的其他批评，其中包括法国学校一定程度上É英里博雷尔，庞加莱é，和亨利·勒贝格（Henri Lebesgue），尽管在他们的作品中，预测性比建构性发挥了更大的作用。这些作家并没有得出非常一致的立场，但他们贡献了数学上重要的想法。LEJ Brouwer 得出并得出了一个他们回避的结论：彻底的建构主义需要对经典分析甚至经典逻辑进行修改。
3.2.1.直觉主义建构主义数学将继续进行，就好像数学存在和数学真理的最后仲裁者是建构的可能性一样。“构造的可能性”必须指上一节中提到的理想化的构造可能性。Brouwer 坚持认为数学结构是心理的。所讨论的可能性来自我们对外部对象的感知，包括精神和物理。然而，从现实到可能性的转变以及对更广泛范围的可能性的看法可能有其思想意图的基础——第一，从具体的品质和存在中抽象出来；第二，从生成序列的限制中抽象出来。无论如何，在构造数学中，生成无限序列的规则不仅是我们知识中的工具，而且是数学所涉及的现实的一部分。
从关于无限的断言问题可以看出为什么会这样。我们已经建议，符号序列的生成是自然数的构造是一种理想化的东西。但是，如果我们进一步抽象出这是一个永远不会完成的时间过程这一事实，那么“构建”就失去了意义。建构主义中的无限必须是“潜在的”而不是“实际的”。每个单独的自然数都可以被构造，但没有一个构造本身包含整个自然数系列。将aeternitatis系列subspecie aeternitatis视为一个整体仍然是确定的，这是我们不允许做的。
布劳威尔坚持以这种方式解释的构造性，这或许背后是算术依赖于时间作为一种直觉形式的想法。在从具体的知觉到其形式的过程中，我们不会从中抽象出感性的一个方面是它的有限特性。因此，无论人们如何看待直觉形式的概念，布劳威尔的立场原则上是基于对我们知识的限制：构成主义隐含在以下假设中：除非我们能够以一种非奇迹的方式知道，否则没有数学命题是正确的是真实的。
因为它源自他自己对数学直觉的哲学解释，布劳威尔称他的立场和他在此基础上构建的数学为直觉主义。我们将把这个名称用于一种与布劳威尔的思想非常接近的建构主义。
尽管无限在数学中具有“潜在”特征，但我们不会放弃对所有自然数的断言，甚至不放弃对无限类的讨论。一个关于所有自然数的命题，只有被自然数列产生的规律确定为真时，它才能为真。这个 Brouwer 就等于拥有了一个证明。因此，“定律”和“证明”的内涵概念成为数学主题的一部分。
对存在命题的考虑将广义的构造性哲学概念与一般数学概念联系起来。粗略地说，数学中的证明如果在任何涉及提及某物存在的地方，它都提供了一种“发现”或“构造”该对象的方法，则该证明被认为是建设性的。很明显，建构主义的观点意味着一个数学对象只有在它可以被建构时才存在；说存在一个自然数x使得Fx是说在序列的生成中迟早会出现一个x使得Fx。如果x取决于参数y，则此x必须可以根据数的构造定律和F 中涉及的构造定律从y确定。
证明 ( ∃ x ) Fx意味着展示如何构造x，因此可以说，在x被展示之前，证明是不完整的。（但是“证明”是在理想化的意义上使用的。）要证明 ( y )( ∃ x ) Fxy必须涉及给出基于y找到x的一般方法。
这种观点立即导致对逻辑基本概念的批评，特别是否定和排中律。“( x ) Fx ”为真当且仅当它可以被证明并不意味着“( x ) Fx ”是关于某些称为证明的实体的陈述，按照通常的解释，它是一个陈述关于自然数的总和。根据 Brouwer 的说法，只有在我们有证据的情况下，我们才能断言“ p ”；( x ) Fx的假设是我们有证明的假设，并且否认我们可以说更多关于“( x ) Fx“断言比在指定什么是它的证明时所说的要多。将“ ¬ ( x ) Fx ”解释为“ ( x ) Fx不能被证明”不满足这个条件。布劳威尔反而说“ ¬ p的证明” “是一种从对“ p ”的证明的假设中获得荒谬的构造。
这种解释的直接后果是排中律变得可疑。给定一个命题“ p ”，没有特别的理由假设我们将永远拥有“ p ”的证明或从“ p ”推导出荒谬的结论。事实上，如果排中律的一般陈述被视为数学断言，那么证明它就必须产生解决所有数学问题的一般方法。Brouwer 立即拒绝了这种可能性。
很明显，这种观点将导致数学相当基础的部分发生变化。排中律的许多实例将保留，其中所涉及的命题可以建设性地显示为系统可判定的。但是 Brouwer 拒绝了经典分析中甚至非常基本的实例。
对于一个令人满意的建构主义分析理论，需要对自然数的任意集合或序列的概念进行分析。Brouwer 的分析赋予直觉主义额外的独特性。这种序列被认为是由一系列独立的决定或“自由选择”产生的，这可能受到某些法律的限制。显然，选择的连续性必须被认为是永远不会完成的。在没有定律的情况下，只有当序列的某个有限初始段确定它为真时，关于序列的陈述才能为真。这样做的结果是，为所有值为整数的自然数序列定义的函数必须是连续的。这也导致了排中律的更尖锐的反例：, ( x )( α ( x ) = 0) 或¬ ( x )( α ( x ) = 0)。我们还可以对上一段的结果进行锐化，并概括地说明并非每个实数都等于或不等于 0。
因此，直觉主义的观点导致了一种独特的逻辑和一种独特的分析基础理论。后者包含另一个独特的原理，即 bar 定理，它是通过分析以下要求而获得的：如果为所有序列定义了一个函数，则必须对该事实进行构造性证明。它大致等价于这样的命题：如果一个排序是有根据的，则超限归纳就它而言成立。尽管如此，直觉主义远没有表现出能够像古典数学一样丰富的发展，而且它往往非常繁琐。尽管它本身很重要，但它并没有为放弃柏拉图主义提供足够的动机。
3.2.2.有限主义到目前为止，我们对建构主义的解释完全基于布劳威尔的直觉主义。然而，直觉主义并不是数学唯一可能的建构主义发展。事实上，它自己做出了一些非常强大的假设。正如我们已经说过的，直觉主义者将构造和证明的概念作为数学主题的一部分，尤其是逻辑连接词的迭代使得做出涉及构造和证明的相当复杂和抽象的陈述成为可能。因此，直觉主义数学似乎不仅依赖于直觉，而且依赖于对直觉构造概念的详细反思。（它也显然不排除不可预测性，因为可以用证明的一般概念来解释给定命题的证明。
基于对时空对象形式的有效运算和一般内涵概念（例如证明）的运算之间的区别，可以构建更弱和更明显的构造数学。基于对时空对象形式的操作的方法将近似于数学家可能称之为基本组合方法或希尔伯特为证明一致性而设想的“有限方法”。递归数论的形式系统，其中一般性由自由变量表示，存在由实例或（如果对象取决于参数）函数的实际表示，如果所承认的函数足够基本，则将符合这一概念——例如，原始递归函数。在这样的形式主义中，任何公式都将表达一个一般性陈述，其每个实例都可以通过计算进行检查。为此，可以使用经典逻辑。此外，可以接受自由选择序列的概念，从而可以进行一些分析。
这个概念的确切限制可能不清楚，尽管很明显排除了一些建设性的论点。这个概念不允许充分使用量词，但可能允许有限地使用它们。
3.2.3.希尔伯特计划如果人们接受这样一种观点，即从哲学的角度来看，建构主义的概念比柏拉图主义的概念更令人满意——更明显或更容易理解——那么人们就不必被迫放弃经典数学。从建设性的角度研究古典数学的道路仍然是开放的，然后它可能会被证明具有间接的建设性意义和正当性。
这样的调查是客观希尔伯特的著名节目，这是第三个主要动画力量-与逻辑主义和直觉-在基础研究在之前的期间第二次世界大战。可能性首先来自于经典数学可以形式化的事实（虽然不完全；我们稍后将考虑这个事实及其含义）。一旦形式化，原则上可以放弃考虑经典陈述的预期含义，而只考虑符号和公式本身的组合。因此，如果某个定理的证明已在系统S 中形式化（比如 Zermelo-Fraenkel 集合论），它被表示为根据一定规则构造的符号配置。可以通过非常基本的方式检查配置是否是证明。
描述形式系统的概念实际上属于有限数学。例如，系统的一致性是这样一个命题，即作为证明的任何配置都不会具有某种形式的最后一行——例如， & ¬ 。尽管如此，尽管在数学研究中我们从预期的解释中抽象出来，但这种解释肯定会指导我们感兴趣的问题的选择。
希尔伯特试图通过形式化经典柏拉图主义数学，并通过有限主义手段证明由此产生的形式主义的一致性，从而在坚实的基础上建立古典柏拉图主义数学。一致性问题的兴趣取决于这样一个事实，即系统的公式代表了一个陈述系统；也就是说，即使柏拉图主义概念的含义是高度不确定的，根据它们的陈述也是根据与“真实”（即有限论）陈述的类比引入的，该陈述旨在至少保留真假的概念以及逻辑法则。
事实上，希尔伯特对一致性的兴趣还有一个进一步的动机：柏拉图主义数学是有限主义数学外推的延伸。某些基本的组合概念也体现在形式主义中；涉及它们的公式表达“真实陈述”。希尔伯特认为其他公式表达了“理想陈述” ——类似于射影几何的理想元素——引入，使理论更加简单和整合。在系统内，它们与真实陈述具有演绎关系。如果系统的公式被基本计算视为错误但可证明，那将是非常不可取的。人们可能希望通过元数学方法证明这不会发生。在核心案例中，一致性证明足以表明它不会。因此，假设我们通过添加量词和二阶量词来扩展无量词的递归数论。结果系统一致性的证明将表明没有错误的数值公式（说明特定整数的递归关系）是可证明的。事实上，它会产生在扩展中可证明的原始系统的任何公式的建设性证明，从这个意义上说，“理想”元素的使用是可以消除的。自 Hilbert 以来（主要由 Georg Kreisel 指出），从构造主义的角度来看，与理解非构造数学相关的许多进一步结果可以从一致性证明中获得。
希尔伯特希望一劳永逸地解决基础问题，这对他来说意味着在坚实的基础上建立柏拉图式的集合论方法。他的希望建立在两个期望之上：所有的数学（至少是所有的分析）都可以编入一个单一的形式系统中，并且这个系统的一致性可以通过如此基本的方法来证明，以至于没有人可以质疑它们。他很失望的这两个预期为G的结果ödel 的不完备性定理 (1931)。尽管如此，该计划的工作仍在继续，其局限性在于必须使用仅包含所讨论数学的一部分的形式主义，并且证明必须依赖于更抽象但仍然具有建设性的概念；有限证明理论的工作取得了有价值的成果，其中一些将在后面讨论。
§4. 数学逻辑我们对前两节主题的其余考虑最适合将数理逻辑作为数学基础研究中的一个因素的独立讨论。在第二次世界大战之前，逻辑学工作的一个重要部分是致力于为逻辑主义或直觉主义等一般立场建立一个或多或少最终解决基础问题的方法。某些特定的结果，也可能是思想氛围的更广泛的演变，阻碍了这一目标。今天几乎所有的数理逻辑工作，即使是受到哲学思想的启发，都是非意识形态的，每个人都承认这项工作的结果独立于最普遍的哲学立场。
从更一般意义上的公理方法开始，数理逻辑已成为对公理理论逻辑结构的一般研究。从种类繁多的技术发展为这里讨论选择的主题为G ö德尔不完备定理，递归函数理论，关系到希尔伯特计划的发展，纯逻辑的基础，和公理集合论。
4.1.gödel 不完备定理研究数理逻辑花了相当长的新方向作为发现库尔特·G的结果ö德尔，在1930年，他的不完备性定理。根据第一定理（如在1936年由JB罗瑟加强）任何形式主义小号即足够强大以表达初等数论的某些基本部分不完全是在以下意义：一个式的小号可以发现使得如果小号是一致，那么和¬ 在S 中都不是可证明的。条件由非常弱的系统满足，例如一阶理论Q其公理是后继函数的皮亚诺公理和加法和乘法的递归方程。（该系统在具有等式的一阶逻辑中形式化，具有后继、加法和乘法作为原始函数符号。公理是我们公理（1）-（4）的版本，加法和乘法的递归方程，以及一个公理它说每个不等于 0 的数都是某事物的后继数。）它们被满足它们的系统的扩展所满足，因此满足了完整的初等数论Z（戴德金-皮亚诺公理化的一阶版本，从问通过添加归纳：代替二阶公理（5 ），通过分析和可以构建数论的公理集合论，添加将（7）中的形式主义的谓词替换为“ F ”的所有结果. 他们也对直觉主义理论的形式化感到满意。显然，添加进一步的公理无法摆脱这种不完备性，因为新理论也将满足定理的条件。
定理的一些一般陈述的必要条件之一是我们之前提到的，证明可以被机械地检查。这必须根据下面讨论的递归函数的概念之一进行更精确的解释。
G的技术ö德尔的证明是极大的兴趣，至今发现广泛的应用。它包括通过将数字分配给系统的符号和公式，将理论的句法映射到理论本身。任何句法关系都将等价于自然数的某种关系。对于关键关系“ 是公式 的S中的证明”，对应关系P ( x,a ) 可以在理论中表达，并且关于它的某些事情可以在S 中证明。那么不可判定的公式是一个公式，它有一个数字k使得什么说（关于数字）等价于公式数字k的不可证明性，即。(1) 那么如果只有真公式是可证明的，是不可证明的。但是是真的。因此，（2）由相同的假设¬ 也是不可证明的。这一呼吁真理的概念在G替代，ö由条件德尔的详细说法，小号是（1）和一致ω为（2）-consistent。通过改变公式，Rosser 表明ω -一致性的假设也可以被一致性的假设所取代。
如果S是一致的，那么是不可证明的，这个证明是有限论的。如果S及其语法到S的映射满足一些进一步的条件，则参数可以在S 中形式化。这产生G的第二定理ö德尔。如果小号是一致的，那么这，根据上面的映射，对应于的一致性式小号是不可证明小号。
第一个定理不仅意味着数学作为一个整体不能被编入一个单一的形式系统，而且数学中可以用特定形式表示法表达的部分也不能被这样编纂。这一事实破坏了通过数理逻辑最终解决基础问题的大多数尝试。第二个定理尤其是对希尔伯特计划的打击。希尔伯特学派设想的有限方法显然可以编入一阶数论Z 中；事实上，它们可以如此编纂似乎是相当确定的，即使有限方法的概念并不完全准确。因此，甚至连Z的一致性可以用有限的方法证明。此外，越来越强的系统的一致性需要越来越强的证明方法。
已经有G的更广泛的哲学意义的许多讨论ö德尔定理。我们将不讨论该定理是否表明任何机械论心智理论是错误的。应该指出的是，通过可能的证明手段超越任何给定的形式系统与数学存在领域中的无穷无尽现象之间存在许多联系。g ^ ödel 的论证可以被看作是一个对角论证，与康托证明没有可数的自然数集合可以穷尽所有这些集合的论证平行。如果归纳公理 (5) 中的量词范围包括自然数的所有类别，则皮亚诺公理是分类公理，但在形式系统的上下文中，只能使用归纳对系统中可定义的类别成立这一事实，其中只有可数的多。在集合论中，添加断言非常大的类存在的公理可以使以前不可判定的算术公式变得可判定。
4.2.递归函数论数理逻辑中的许多问题需要对机械或有效程序的概念进行数学上精确的表述。对于大多数目的，这种需求是通过一个概念来满足的，这个概念有各种等效的表述，由几位作者得出。（普通）递归定义的概念，通过雅克·埃尔布朗和G在1931年引入的ö德尔，是第一个。根据此概念可计算的自然数函数（“计算”包括从通过简单规则定义方程中推导出评估）称为一般递归函数，或简称为递归函数。其他公式是λ -definability (Alonzo Church)，图灵机的可计算性（AM Turing）、算法（AA Markov）和组合系统的不同概念（Emil Post 等）。
递归定义的概念已被证明在决策问题中是必不可少的。给定由某个参数定义的一类数学问题，是否有解决该类中每个问题的有效算法？举个例子，考虑希尔伯特的第十个问题：给定一个具有整数系数的多项式，是否有一个通用的方法告诉我们它在整数中是否有一个零？如果这样的问题能够得到肯定的解决，那么通常可以根据算法的直观概念得出解决方案：如果可以发明程序，那么通常很清楚该程序是有效的。但是要对这样的问题给出否定的答案，需要对可能的有效程序有所了解。递归函数理论的发展使大量结果成为可能，断言某些类别的问题不存在决策程序。这种解释结果的方式取决于被称为丘奇论文的原则，该原则说有效可计算函数的数学概念实际上对应于直观的想法—即，当且仅当它是递归的时，数论函数（直观地）是可有效计算的。
一种重要的决策问题是关于正式系统中的可证明性。给定一个形式系统S，是否有一种算法可以确定给定的公式是否是S的定理？如果存在，则称S是可判定的。尽管存在可判定系统相当有趣的例子，对其中G系统ö德尔的第一不完备定理适用是不可判定的。实际上，G ö德尔的类型的参数也可以用于证明一阶逻辑是不可判定（如由教会在1936）。
递归函数理论的另一个重要方面是根据与递归相关的不同原则对集合和函数进行分类。一个这样的原则，根据递归谓词和量词（Kleene-Mostowski 层次结构）可能定义的复杂性来表述，不仅在逻辑中具有广泛的应用，而且与旧的拓扑分类密切相关。人们可以挑选出算术集（那些可以通过仅对自然数的量化从递归谓词中定义的集）、超算术集（算术层次结构的某种超限扩展——实际上，那些可以在分枝分析中定义的集合，其层次贯穿递归序数）和分析集（那些可以通过对数字和函数或自然数的集合进行量化而从递归谓词中定义的集合）。Church 和 Kleene 指出的递归序数最容易被描述为自然数递归良序的顺序类型。
递归函数理论对于解释不同的构造性概念以及比较经典数学和构造数学显然是有价值的。“( x )( ∃ y ) Fxy ”形式的陈述的建设性证明应该产生一种从x获得y的有效方法。例如，Kleene 和他的合作者已经表明，在形式化直觉主义数论和分析中可证明的任何陈述都具有称为“可实现性”的属性，这大致相当于将“( x )( ∃ y ) Fxy ”解释为断言递归的存在功能，给予Ÿ来讲×。尽管它在直觉上也很有意义，但该构造给出了对直觉主义形式主义的经典解释。它还允许对 Brouwer 的反例技术进行锐化和扩展。某些经典可证明的公式可以被证明是不可实现的，因此在 Kleene 考虑的直觉主义形式主义中是不可证明的。
关于递归函数的概念和关于构造性的基本概念——例如直觉主义的概念——之间的关系出现了一个问题。不能将丘奇的论文解释为明确定义“有效可计算的函数”，因此不能将其解释为给出直觉主义量词的含义。因为根据定义，一个函数是一般递归的，如果有一组方程，对于每个可能的参数，可以从中计算出该参数的函数值，形式为“( x )( ∃ y ) Fxy。”如果从建设性的角度解释，建议的定义是循环的。“建设性地证明处处定义的函数”与“一般递归函数”之间的关系还不清楚。可以问是否每个直觉上处处定义的数论函数是一般递归还是每个（经典的）一般递归函数都可以建设性地证明是这样的。这两个问题都没有得到解决。
4.3.希尔伯特计划的发展对于构造性的研究，研究更受限制的递归定义类型也很重要，这些递归定义可以通过定义函数的确定形式的参数看出。这对于扩展的希尔伯特计划尤其重要。
g ^ ö德尔的第二不完备定理意味着，即使是初等数论的一致性ž不能证明通过这些方法设想的希尔伯特。此后，通过更强大的构造方法获得了 Hilbert 所设想的那种一致性结果。ģ ö德尔和根岑独立地（和finitistically）证明，如果直观第一阶运算是一致的，则这样是经典一阶算法。这些证明基于一种非常简单的方法，将经典理论转化为具有广泛应用的直觉主义理论——例如，适用于纯逻辑。一个原子公式P由¬ ¬ P（在初等数论中，相当于P本身）。如果，ℬ被翻译成 °，ℬ °，分别接 ∨ ℬ由翻译¬ ¬（ ° ∨ ℬ °），（∃ X）由¬ ¬（∃ X） °， ⊃ ℬ通过¬（ °＆¬ ℬ°）， ＆ ℬ通过 °＆ ℬ °， ¬ 通过¬ °，以及（X） 由（X） °。显然，翻译不仅证明了相对的一致性，而且还赋予每个可证明的公式一个直觉主义的意义，据此它在直觉上是正确的。如果是数论的一个无量词公式，或者如果它只由合取、否定和全称量词组成，那么如果它在Z中是可证明的，直觉上是可以证明的。这种翻译可以很容易地扩展到分支分析。由于直觉主义系统的一致性在直觉上是从它们在预期解释下的健全性得出的，经典系统的一致性已经被直觉地证明了。
Gerhard Gentzen 于 1936 年获得了更清晰的结果。此后，几位工作人员发现了具有各种优点和改进的新证明。Gentzen 证明了Z的一致性，在有限算术中加入了一个假设，即顺序类型为ε 0（最小序数大于ω , ω ω , ω ω ω , · · ·）的自然数的某个递归排序是一个井-订购。这个假设可以在直觉主义分支分析中证明，仅使用级别 1 的集合变量，但不能在初等数论中证明。
Gentzen 的结果使得提取关于初等数论威力的更多信息成为可能。Kreisel 获得了有关初等数论与某些无量词算术之间关系的信息，还获得了可在Z 中证明为一般递归的函数的表征。
通过洛伦于1951年获得用于有限水平支链分析的结果相对应，并通过库尔特SCH削尖ü TTE。它是由SCH扩展ü TTE到超限的水平。
基于这些结果，我们可以说所有的预测数学都可以得到构造一致性证明。在明确定义的意义上，它们是可能的最佳结果（例如，上述序数ε 0不能被较小的序数代替）。尽管如此，为不可预测的经典分析提供这样一个证明的努力，更不用说公理集合论，已经被证明是徒劳的。
最近的研究结果为这种情况提供了相当多的启示。克利福斯佩克特（1962）证明了相对于经典分析的到自由量词理论（G一致性ö德尔1958）任意有限类型的原始递归函，通过一个新的模式通过定义函富集的“栏中递归。” 这相当于将 Brouwer 的 bar 定理推广到任意有限类型。这种广义的 bar 递归没有找到建设性的理由，但该方法通过原始 bar 定理为分析子系统提供了一致性证明，根据合理的标准，这些子系统是不可预测的。
Kreisel (1963) 已经表明，直觉主义分析，包括巴定理和“广义归纳定义”的强模式，不足以证明经典分析的一致性。这样的证明需要对已建立的直觉主义方法之外的构造方法进行必要的扩展。
所罗门·费弗曼和SCH ü TTE给predicativity根据其建立的直观方法超越表语那些概念的分析。根据他们的概念，归纳定义，例如表示递归序数的O类数字的定义是不可预测的。
希尔伯特计划的命运如何？最广泛地说，它的目标是通过对经典形式系统的建设性分析来确保柏拉图主义数学的基础。不完备现象使得在处理越来越强大的系统时，无法避免将越来越抽象的概念引入元数学。无论获得的关于这些概念与柏拉图主义概念之间关系的信息多么有趣，这些概念在所有方面都更安全并不明显。此外，在目前的研究状态下，还不确定是否可以找到足够强大的构造方法来证明经典分析的一致性。
这种事态不利于那些试图将数学限制在具有最大直观清晰度的方法的方法论观点。显然，这样的方法不足以解决某些内容极其简单的数学问题，即关于“( x ) Fx ”形式的某些陈述的真实性的问题，其中“ F ”代表自然的原始递归谓词数字。这些观点的支持者似乎被迫承认，即使是这样的问题也可能是客观不确定的。
4.4.逻辑基础在有限元元数学中获得的关于纯逻辑的一个重要结果是一个定理或一组相关定理——包括 Herbrand 定理 (1931) 和 Gentzen 定理 (1934) ——大意是可以将一阶逻辑公式的证明放在变成正常形式。在这种范式证明中，证明中出现的公式的逻辑复杂性在某些方面受限于结论的复杂性；例如，没有公式可以包含比结论更多的嵌套量词。证明是，就像，没有弯路，和方式ponens被淘汰。因此，从自由量词-公理推导出一个自由量词配方可以通过命题逻辑和替换，这意味着所有G的发现之前由希尔伯特学校证明一致性结果证明ö德尔定理。Gentzen 定理也适用于直觉主义逻辑和其他逻辑，例如模态逻辑。
这些定理，这是量化理论的证明论的基本定理，是密切相关的它的语义，G的基本定理ö德尔完备性定理。每个不能正式反驳的公式都有一个模型——事实上，一个量词范围覆盖自然数的模型；即，有无数个人。这可以加强为：如果S是一阶逻辑公式的任何集合（有限或无限），则它具有可数模型，除非S 的某个有限子集不一致——也就是说，除非子集成员的合取形式上是可反驳的（Skolem-L ö wenheim 定理）。
这个定理有一些非常惊人的结果：特别是，如果S是某个集合论系统的定理集合，它就适用。那么如果系统是一致的，即使S可能包含一个断言不可数集存在的定理，S也有一个可数模型。这并不矛盾：如果 n 表示模型中的不可数集，则确实只有可数多的m使得m ∈ n在模型中为真，但是断言“ n是不可数的”在模型，因为该模型将不包含表示枚举对象m的函数的对象，m ∈ n在模型中为真。该模型只能从“外部”进行枚举。
这是一个非标准模型的示例，因为它在某些基本方面与预期模型不同。该斯科伦-L ö wenheim定理也意味着非标准型号的数论的系统的存在。事实上，即使对于初等算术的所有真公式的集合S也有一个非标准模型。数列不能被任何可数的一阶公式集表征为同构。
集合论的可数模型的存在说明了柏拉图主义的集合概念，特别是给定集合的子集的集合，对于集合论是多么重要。如果柏拉图主义的概念中没有比任何特定形式系统中规定的更多，那么显然不能客观地确定集合的基数。实际上，集合的基数取决于存在哪些映射，因此取决于存在哪些集合。
包括斯科勒姆在内的许多人都敦促接受这种相对性。一个完全形式主义的概念甚至会引起自然数本身的相对性。
完备性定理和非标准模型的构建是现在快速发展的逻辑分支模型理论中的基本工具。这个主题可以被视为逻辑语义学的发展，但最近工作的观点的独特之处在于它将形式理论的模型视为一种代数结构，并且一般来说，它整合了用抽象代数对形式系统进行语义研究。模型理论使数理逻辑与我们主要关注的哲学问题相去甚远，特别是将柏拉图主义的强大形式视为理所当然。事实上，这一发展的领导者已经强调了元数学方法在普通数学问题上的应用。
还有其他关于纯逻辑基础的研究。例如，我们已经提到量化理论不可能有决策程序。尽管如此，人们对公式的哪些子类是可判定的问题很感兴趣。
4.5.公理集合论我们不打算在这里考察集合论的不同公理系统。然而，我们将提及集合论元数学的一些发展、关于选择公理和康托连续统问题的发展。
选择公理断言（在一个公式中）对于每个非空集合的集合A，其中没有两个具有公共元素，存在一个集合B，它恰好包含来自A 中每个集合的一个元素。当 Zermelo 在 1904 年使用它来证明每个集合都可以有序时，这个公理变得突出。尽管有很多争议，但它的应用越来越多，以至于现代抽象数学的整个理论基本上都依赖于它。自然而然地出现了这个问题是否可以从各种集合论系统的其他公理中证明或反驳。AA Fraenkel (1922) 表明它不能从 Zermelo 的公理证明，前提是公理允许个体——即不是集合的对象——在量词范围内。
连续问题似乎是在基数的算术一个基本问题：是否有之间的基数ℵ 0和2，整数的基数，ℵ 0，即连续的; 否则，连续统是否包含与连续统和整数不同的基数子集？如果答案是否定的，那么 2 ℵ 0 = ℵ 1，第一个大于ℵ 0的基数，以及第一个不可数良序的基数。康托尔猜想 2 ℵ 0 = ℵ 1被称为连续统假设。
g ^ ödel 在 1938 年证明了选择公理和连续统假设的推广与其他公理是一致的。该论点适用于许多不同的系统，包括 Zermelo-Fraenkel 系统 (ZF)。被证明（有限地）的是，如果，比如说，ZF 是一致的，它同样与一个新的公理一致，可构造性公理，这意味着选择公理和广义连续统假设。对于可构造集，即通过将类型的分支层次扩展到所有序数而获得的集合，可以在系统中证明满足所有公理加上可构造性公理，即每个集合都是可构造的。在模型方面，ZF 的任何模型都包含一个子类，该子类是一个所有集合均可构造的模型。可构造集本身就很有趣；Gö del 表示，它们背后的想法是将所有不可预测性减少到一种特殊类型，即大序数的存在。然而，他并不认为可构造性公理是合理的。
因此，众所周知，选择公理和连续统假设与其他公理是不可反驳的。最近，Paul J. Cohen 证明了它们也是不可证明的。也就是说，如果 ZF 是一致的，则通过添加选择公理的否定或添加选择公理和连续统假设的否定来保持一致。从初始的G ö德尔的想法，科恩开发了构建模型一个比较新的方法，这导致非常快了大量的进一步独立性结果。
关于选择公理和连续统问题的情况再次提出了一个问题，即我们对集合的概念有多确定，连续统问题这样的问题是否有客观确定的答案。今天，大多数数学家发现选择公理非常明显。但是连续统假设——也许是因为它更特殊的特性，并且因为无限与有限的类比，给定集合的所有子集的集合的概念所基于的有限并不表明它的合理性——考虑到直观的证据或合理性，则更加不确定。在斯科伦-L的作用ö wenheim定理G中ödel 和 Cohen 的构造可能会鼓励连续统假设实际上是不确定的。g ^ ö德尔本人认为，这是假的，并希望公理会发现这是明显的，因为选择公理和足以反驳连续统假设。目前，似乎没有人对这样的公理会是什么样子有一个很好的了解。它必须从无限远强平时公理，到G的方法是不同的字符的ö德尔的一致性证明适用。
因此，连续统假设的问题非常接近于关于柏拉图主义的一般认识论问题。如果设置和功能的一般概念中的一些直接的方式给出的头脑，如果回声仁é笛卡尔，无限的思想先于有限的思想，没有理由期望连续统问题这样一个比较简单的问题是无解的。另一方面，如果柏拉图主义的概念是从我们拥有直觉证据的领域通过类比发展而来的，如果它们是“理性观念”，而没有与之相对应的直觉，则发展起来以提供“更高的统一性”这是我们的知识无法通过其他方式获得的，那么如果集合的性质在某些重要方面是不确定的，并且实际上可以以不同的、不相容的方式进一步确定，也就不足为奇了。
§5. 数学逻辑在 1960 年代以来的大量工作中，处理形式化公理理论是数学基础的最核心，尽管现在关于公理方法的中心性的争论可能比以前更多。一段时间以来，数理逻辑被划分为证明理论、模型理论、可计算性（递归）理论和集合论（请参阅这些主题的条目），尽管当然存在重要的相互联系。模型理论和可计算性理论更纯粹是数学，尽管它们的方法对其他两个领域很重要，并且一些应用（如非标准分析）具有基础意义。
证明理论工作的一个结果是，经典分析（二阶算术）的强大子系统已经通过在某种意义上具有建设性但比该主题早期历史中设想的更强大和抽象的方法进行分析。另一个证明理论程序获得了可能更清晰的基础收益，该程序可以追溯到 Hermann Weyl (1918) 试图预测性地重建经典分析。Harvey Friedman、Stephen Simpson 和其他人在 Simpson (1998) 中进行的调查表明，许多标准的分析定理（和其他数学分支）如果适当地表述出来，可以在弱系统中得到证明。逆向数学 (qv) 方法可以准确校准证明特定定理所需的公理能力。
最引人注目的发展出现在集合论中，保罗·科恩 (Paul Cohen) 在 1963 年对选择公理和连续统假设的独立性的证明引发了研究的爆炸式增长。科恩的强迫方法被证明具有广泛的适用性。在接下来的几年里，在集合论及其应用的所有领域都发现了更多的独立性结果。特别是，许多经典猜想与标准公理系统 ZFC（或 ZF，在选择公理足以证明一个陈述的情况下）既一致又独立。
这些工作可能会向哲学家暗示，集合或集合的宇宙的概念存在巨大的不确定性，即独立于 ZF 或 ZFC 的语句之间的逻辑关系的随机集合。但是，顺序比这张图片所暗示的要多。重要的独立陈述的存在意味着寻求新的公理，实际上已经通过发展两种新公理的结果取得了进展：无穷强公理（断言某些大基数存在的公理）和公理的特例的确定性。
已经研究过的大基数公理被证明是按一致性强度线性排序的（参见集合论条目的第6节），这使得确定其他独立陈述的一致性强度成为可能。对于确定性的博弈论公理尤其如此。后者适用于实数的射影集（大致可通过实数量化定义的那些）的假设 PD 暗示了描述集理论的经典问题的解决方案，即对这些集的研究。PD（以及更多）被证明来自强大的大基数公理。
虽然这个结果离开了连续不变的问题，它确实表明，由库尔特摹提出调查沿线新公理的程序ö在1940年德尔能安定类重要的开放问题。暗示 PD 的大基数公理具有理想的特征，即它们在二阶算术中的结果不能通过强制改变。W. Hugh Woodin (2001) 对连续统问题的方法（参见集合论条目的第6节）旨在将这一结果扩展到更高的水平。但它甚至连 Woodin 本人都不认为是一个确定的解决方案，甚至连连续统假设是否具有确定的真值的问题仍然悬而未决。
§6. 数学哲学方法1967 年，数学哲学在很大程度上是逻辑的附属，讨论的中心要么是逻辑结果，要么是对数理逻辑的发展做出贡献的早期基础程序。从那时起，它本身就更像是一个主题。它受到了使科学哲学远离逻辑的普遍趋势的影响。尤其是历史研究发挥了更大的作用，许多此类研究的发展并不接近逻辑。
在前面的条目中，讨论的哲学问题涉及基本数学概念（如自然数）的分析以及数学原理的识别和论证。术语“基础”自然暗示了这种关注。但是数学哲学可以而且确实包含其他类型的探究。它被指控只与初等数学有关。这个收费是不正确的；例如，确定集合论中结论所需的公理是高级数学研究的问题，一般来说，公理的证明并不独立于从它们发展而来的理论知识。
但是，对基本概念和原理的探究在关注当前和早期研究中对数学的阐述方面确实是有选择性的。人们很可能会寻求对另一种数学实践方面的哲学理解。此类有影响力的一项工作是由伊姆雷·拉卡托斯( Imre Lakatos)开创的，特别是在他的《证明与反驳》 ( Proofs and Refutations) (1976)一书中。Lakatos 研究了Leonhard Euler (1707 –1783) 将多面体的顶点、面和边的数量联系起来，并揭示了在一段时间内发现的困难以及由此产生的定理陈述的改进。一个潜在的想法是，数学知识比某种传统图片更容易出错，原因与基本原理的困难所暗示的原因不同。出于篇幅的原因，这种探究不会在这里进行，但应该承认，自 1967 年以来，这一部分数学哲学相对于整体有所增长。
§7. 逻辑主义和新弗雷根纲领在第2节中，非常注重将算术归结为逻辑和数的分析的项目。早期形式的逻辑主义并未复兴，但一种新逻辑主义已成为一种活跃的纲领。据观察，算术公理可以从第2.6节中的标准 (7) 中以二阶逻辑导出，数值等价性定义为 (8)。（这是在（12）之后简要概述的，但最困难的情况，即每个自然数都有后继的证明，被省略了。）这样表述的（7）被（误导性地）称为休谟原理（HP）。带有数算符N x Fx的二阶理论HP 作为非逻辑公理称为 Frege 算术 (FA)。1983 年，Crispin Wright 证明了二阶算术的 Dedekind-Peano 公理在 FA 中是可证明的，使用 Frege 的定义，但这是由Gottlob Frege证明的本质，后来被称为 Frege 定理。直观上，弗雷格使用N x Fx的定义只是为了导出 HP，然后按照该原理完成工作。Richard G. Heck Jr. 于 1993 年表明，Frege 在Grundgesetze 中的证明本质上是正确的。几位逻辑学家表明，如果二阶算术是一致的，则 FA 是一致的。
Wright 的新弗雷格提议是将 FA 作为基本算术。只有当基数的概念是逻辑概念并且 HP 是逻辑原理时，它才是算术的逻辑构造。为了证明算术是逻辑的一部分，这个结构似乎是在自问自答。尽管如此，Wright 和其他人对 HP 等抽象原则的地位进行了大量讨论，这些原则将一种实体的等价关系作为另一种实体的同一性标准。Wright 最初的想法似乎是 HP 接近于一个定义，尽管它不是一个明确的定义，也不符合上下文定义的通常标准，它应该能够通过对上下文的释义来消除引入的术语它发生。这个想法的一个致命困难是，只有当域是无限的时，HP 才能相对于个人域为真。赖特和他的合作者继续争辩说惠普是分析型的。其他人怀疑暗示存在无限对象序列的原理是否具有解析性。另一个困难是弗雷格的不一致公理 V 是一个抽象原则，其他看似合理的抽象原则要么不一致，要么只能在有限域中满足。
通过抽象原理公理化数学部分的程序具有独立的逻辑兴趣，并且已经完成了分析工作，以及集合论的初步工作。Kit Fine (2002) 对抽象原则进行了广泛的分析，以区分那些引入不一致的和没有引入不一致的。
§8. 柏拉图主义二战以来，认为经典数学受到已知悖论或其他未知悖论严重威胁的观点几乎消失了。§ 3 中描述的柏拉图主义已被广泛接受为一种数学方法。从表面上看古典数学的语言，暗示抽象数学对象的存在，甚至形成不可数的更大的总体，并允许使用排中律和非谓语定义进行推理，这可能是哲学家和逻辑学家的默认立场. 这可以称为默认柏拉图主义。与这种观点有关，无论是接受还是拒绝，自 1967 年以来数学哲学的大部分工作都集中在本体论问题上。这个职位怎么会被拒绝？
§9. 建构主义在第3.2节中，柏拉图主义主要与建构主义形成对比。直觉主义和其他形式的建构主义不接受古典数学的推理特征，在直觉主义的情况下是排中律。
该领域的一个重要发展是基于迈克尔·达米特 (Michael Dummett) (1973) 提出的语言哲学考虑而支持直觉主义逻辑的论点。然而，这对作为一般哲学的实在论的讨论比对数学基础的具体影响更大。直觉主义理论的重要元数学工作是在 1960 年代和 1970 年代完成的。一个重要的发展是直觉型理论的发展，它比传统的直觉主义理论具有更大的表达能力。Per Martin- Löf (1984) 是最发达的。但是，尽管直觉主义逻辑已被证明具有广泛的应用，但直觉主义作为一种通用的数学方法已经大大下降，与经典数学竞争。由 Errett Bishop (1967) 开创的另一种数学建设性方法已由几位数学家开发。尽管在上一代它比直觉主义更活跃，但哲学家对后者更感兴趣，这也许是有道理的，因为 Bishop 方法在哲学上的有趣之处与直觉主义共享，而 LEJ Brouwer 和其他直觉主义者在发展哲学论证方面做了更多工作为他们的职位。
§10. 唯名论术语柏拉图主义也被用来使视图与对比唯名。自 1980 年左右以来，这种反对在哲学家中更为突出，尤其是在北美。这可能从根本上归因于科学自然主义对哲学的所有理论部分的巨大影响。
唯名论拒绝默认柏拉图主义的传统方式是不从表面上看数学语言，并试图以一种避免对抽象数学对象的承诺的方式来解释它。此类计划自 1980 年代以来一直在推行，但事实证明，至少通过以下两种方式之一来扩大传统的唯名论资源是必不可少的：允许点和可能的时空区域作为物理或允许模态。那么就有可能重建大量的古典数学，至少如果人们接受 George Boolos (1998) 的一个有争议的论点，即他通过英语复数形式阅读一元二阶逻辑语言并不涉及承诺诸如集合、类、概念或复数之类的实体。没有对象的主题（1997）。
Hartry H. Field (1980, 1989) 提出了一个更大胆的建议：他与默认的柏拉图主义分开的地方在于，他拒绝接受古典数学陈述，从表面意义来看，是真实的，甚至数学旨在真相。他试图通过工具性地观察数学来解释数学表面上的客观性，作为在科学理论中进行推理的工具。保守性取代了真理的作用：给定一个唯名论的科学理论 T，如果将其资源添加到 T 的资源中，则数学理论 M 是保守的，如果将其资源添加到 T 的语言中无法推导出尚未可推导出的结论。这使他承诺给出科学理论的唯名论版本，并且（根据前面提到的关于时空点和区域的假设）他能够给出这样一个版本的牛顿引力理论。困难阻碍了现代物理理论的实施。
§11. 结构主义关于现代数学的两种相关直觉得到广泛表达：它是对（抽象）结构的研究，并且数学对象没有更多的性质，只是通过它们所属的结构的基本关系来表达。数学对象的结构主义观点是第二种直觉的发展。它与默认柏拉图主义的关系是模棱两可的。一些可以称为消除结构主义的版本通过提出消除对数学对象或至少对最典型数学对象的引用的释义，拒绝了该观点的一部分，将数学语言视为表面价值。其他人则将结构主义思想作为对标准数学语言中对对象的引用的解释。
消除结构主义分析的一个简单例子是将二阶算术语言翻译成纯二阶逻辑语言。假设A是一个二阶算术语句。由于诸如加法和乘法之类的算术运算是二阶可定义的，因此可以假设A仅包含基元N（自然数）、S（后继）和 0。自然数的结构具有二阶特征用这些原语对句子进行排序，这些公理的合取P。如果A是可证明的，那么句子P → A是纯逻辑可证明的。如果A是真的，它在标准语义意义上是有效的。人们可以将P → A（或用变量替换N、S、0的结果）视为A 的一种翻译，它消除了对数字的引用。翻译的难点在于，如果不存在满足公理的结构，则P → A和P → ¬ A都是空真。翻译似乎预设了P是可满足的。
结构主义的一种版本允许集合作为基本对象。这将是发展第一直觉的自然方式，将结构理解为集合论结构。但是，对数学对象的一般结构主义观点自然不会将集合排除在结构主义处理之外。此时已经引入了模态。在前面的例子中，假设可能有N、S和 0 满足P就足够了，因为P → A可以被强化为□ ( P → A）。Geoffrey Hellman (1989) 的模态结构主义是依赖于这一思想的消除结构主义的一个版本。它包括对集合论的详细处理。（Hilary Putnam [1967] 早先勾勒出一种方法。）
这些结构的完成取决于二阶逻辑的状态，新弗雷格纲领和唯名论也出现了这个问题。关于这一点，有很多争论。关于集合论，还有一个问题，即结构可能性的前提是具有如此大的基数的结构，以至于任何意义上的具体或物理对象都无法看到它，因此构造的要求消除对数学对象的引用可能会受到质疑。
威拉德·范·奥曼·奎因 (Willard Van Orman Quine，1969) 和一些早期作家的评论暗示了结构主义的其他版本。Michael D. Resnik (1997)、Stewart Shapiro (1997) 和 Charles Parsons (1990) 已经详细阐述了非限定性结构主义。关于这些观点，有关于结构状态的争论，以及关于身份的问题。
§12. 稳健的柏拉图主义？更健壮的类型柏拉图的以g表示ö德尔的加注“的设定理论概念和定理描述了一些精心确定的现实，其中，坎托猜想必须是真或假”（1964年，第260页）。这种观点将得到任何支持哲学实在论的普遍考虑的支持。但是需要更多的东西，集合论概念和集合量化的某种清晰度和明确性。g ^ ödel 希望论证连续统假设 (CH) 必须是真或假，即使他无法确定哪个。可能强化他的主张的是确定 CH 真值的发展（例如 Woodin [2001] 的工作）。然而，这种结果的假设可能会被纳入一个不太稳健的柏拉图主义观点。也许G的更大的价值ö提洛现实主义是作为一个规整性原则：一个是更容易找到答案的数学问题，如果假设在一开始就存在被发现的答案。
不可能为这种现实的立场提供决定性的哲学论证。另一种说法是，在数学发展过程中应用于数学的默认柏拉图主义代表了人们对数学理论所描述的现实的确定性应该声称的限制。这将是奎因在许多着作中推荐的自然主义立场在数学中的应用，但没有他对经验科学的特权。Hao Wang (1974) 和最近的 Penelope Maddy (1997) 提出了这样的观点。
g ^ ö德尔在集合论概念的信心还没有得到普遍认同; 尤其是 Solomon Feferman (1998, 1999) 为一种受到早期谓词主义传统影响的怀疑观点进行了辩护。
§13. 认识论问题在 1967 年的条目中，认识论的讨论集中在数学是否可以被证明是先验的问题上。在这个问题上似乎没有决定性的进展，所以其他人将集中在这里。
Paul Benacerraf (1973) 用相当抽象的术语提出了一个关于数学知识的问题：如果默认柏拉图主义是正确的，一个人怎么会有数学知识？一种反应是从一个人显然具有数学知识这一事实开始，然后质疑产生问题的假设。Benacerraf 最初提出的一个假设，即知识的因果理论，相对容易被拒绝。要求一个命题中所指对象之间的因果关系以获取该命题的知识，这似乎是提前与抽象对象相抗衡，而他写作时流行的因果理论在一般认识论中并不站得住脚。但是人们可以用更一般的术语来看待这个问题：能否给出一种自然主义的数学认识论？最有成效的方法可能是检查实际的数学知识，并考虑对它的什么样的解释是有意义的，以及它是否符合某种自然主义的标准。
这种明确的计划还没有得到广泛的实施。人们可能会自然地寻找自然主义解释的一个地方是心理学，并且已经有大量关于幼儿数字概念发展的研究。尽管问题通常是根据集合的概念来构建的，但不清楚这是必不可少的，或者本体对于问题的表述是否至关重要。可以说，数学本体论只出现在比被调查儿童所达到的数学能力发展更高级的状态。
当人们甚至考虑在小学课程中教授的数学时，那么人们必须继续做的是历史和数学家（有时是哲学家）对其主张的合理性的反思。一些基本的陈述和推论在理性上是显而易见的，这似乎是一个不可避免的假设。例如简单的逻辑推理和集合论中最基本的公理，例如配对公理。这并不意味着该证据不会从基于这些明显出发点的理论发展中得到重要的强化，或者后者永远不会根据知识的进一步发展进行修正。当知识大厦建立起来时，其他假设可能会变得明显；这可能适用于更高层次的集合论公理，例如幂集和选择。对理性证据的哪些可能解释可以算作自然主义是一个尚未被深入探讨的问题。但是现在任何认为没有可接受的解释是可能的理由都必须依赖于先验的前提。
一个不那么抽象但也许更有趣的认识论问题尤其出现在更高的集合论中。这是由前面提到的不可或缺性论证所暗示的。不管人们的基本合理的证据，它已经被削弱时，在科学应用的一个河段为数学平时的公理，如约由布劳威尔排中提出的法律问题表示，那些关于非直谓性由庞加莱提出é(1908) 和 Weyl (1918, 1919)。然而，成功应用的悠久历史使人们相信，例如，连续统的经典数学对于科学来说是必要的，并且至少与基础物理学本身一样成熟。这是不可或缺的说法提出索赔，并已被罗素提出较早，则G ö德尔说公理可以从它们产生的理论推导出其明显的特征。然而，在数学的应用中，有那些在数学中的应用。ģ ö德尔认为显然的是，许多数学（包括一些较高的设定理论）的可以被看作是在一个明显的先验方式，不会被经验科学中的应用所获得的证据所污染。然而，特别是在更高集合理论中，公理可以通过在其基础上构建的理论获得额外的证明，并且这种证明对于更强的公理是可能的，例如已经提出的更强的大基数公理，在那里没有令人信服的内在证明.
g ^ ö德尔的观点和不可或缺性论证的共同点是数学公理的理由至少可以休息，在一定程度上他们的后果。然而，对于G ö德尔这是数学的理性知识的独立经验的地位相适应，而对于不可缺少的说法，奎因和普特南（1971年）的主要支持者，事实并非如此。在更高集合论之前，必不可少的论点显然已经用完了。经验科学没有使用它，而且确实有人认为，从证明论者的角度来看，应用于科学的数学理论是薄弱的。
由于很少有人对最强的无穷公理的内在证明感到满意，而确定性公理也几乎没有这样的证明，描述性集合论经典问题的公认解决方案依赖于假设，这些假设的证明取决于它们所产生的理论（见马丁 1998）。对于在可预见的未来可以预期的连续统问题的任何解决方案，都必须承认这一点。
§14. 历史研究自 1967 年以来，数学基础历史的几乎每个方面都进行了一些深入的学术研究。 关于伊曼纽尔·康德，迈克尔·弗里德曼的《康德与精确科学》（1992 年）具有决定性的发展，它整合了康德的数学哲学与他的物理学哲学，并给出了由 Evert Willem Beth (1959) 和 Jaakko Hintikka (1974) 开创的关于直觉在数学中的作用的逻辑观点的最强版本。年轻的学者跟进了弗里德曼的工作，经常批评它的某些方面。他们特别探讨了康德关于数学的思想与他那个时代和更早时期的数学以及他的前辈哲学之间的关系。
弗雷格的一项工作，其中 Boolos 和 Heck（见 Demopoulos 1995）是领导者，已经清楚地阐述了 Frege 工作的数学内容，特别是在Grundgesetze 中。另一股重点强调了他的逻辑概念以及它与我们自己的逻辑概念的不同之处。第三个将弗雷格与 19 世纪数学，特别是几何学的发展联系起来。
数学作为专门研究对象的基础源于 19 世纪数学革命，特别是其后半期的发展：分析方法的严格化，集合论和抽象方法的开始，现代数学的兴起逻辑，以及悖论在 20 世纪初扮演的角色。这一发展的每一个方面都是学术研究的主题。后来的发展如罗素的逻辑、布劳威尔的直觉主义、希尔伯特计划和维也纳学派的工作也是如此。空间不允许描述这项工作，但在参考书目中已经给出了选择性参考。
