勾股定理（英语：Pythagorean theorem），又称商高定理、毕达哥拉斯定理、毕氏定理、百牛定理，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。
对于勾股定理的证明也是多种多样，有：
赵爽勾股圆方图证明法刘徽“割补术“证明法利用相似三角形的证明法欧几里得证明法而这几种证明方法中，我个人认为最美的是欧几里得在《几何原本》中的方法。
欧几里得证明法欧几里得证明方法
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三角形ACB是一个直角三角形，我们可以根据三条边分别作出三个正方形，
正方形DECA正方形ABJI正方形CBFG而勾股定理所要证实是：
正方形DECA面积 + 正方形CBFG面积 = 正方形ABJI面积 （a^2 + b^2 = c^2）。
图1
我们来看下图1中红色和绿色这两个四边形，由于直线BH和AG是平行的。因此，红色和绿色两个正方形同底等高，红色和绿色正方形面积相等。
图2
同理，绿色四边形通过在直线AE和CH之间平行转换，绿色正方形的面积一直不变。同样的分析可以将黄色正方形转化紫色四边形，面积也一直不变。
图3
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