数学的天空教学笔记2021-03-24（续）
上回聊到，按照一种新型理论，下面的等式在实数域中成立！
大家知道，求无限多个数的和，即无穷级数，实际上是极限概念，即前n项的和求极限，极限存在则称无穷级数收敛，而极限值就是无穷级数的和；极限不存在，则称无穷级数发散或无意义。
注意，求极限需要事先给定度量，所以极限当然与几何密不可分哦！我们通常使用的是普通的度量，即由勾股定理导出的欧几里得距离，中学数学和高等数学用的都是普通的绝对值。在普通度量下，上面的无穷级数当然发散，因为无穷等比级数收敛当且仅当其公比的绝对值小于1，而上面的无穷级数公比是2，而2的普通绝对值当然大于1。但谁说2的“任何”绝对值都大于1？
德国著名数学家亨泽尔（Kurt Hensel）在20世纪初提出了p-进赋值理论，其中p是素数。最小的素数当然是2了，所以咱们以p=2为例来解释亨泽尔的理论。
大家都知道，每个非0整数a都可以写成下面的样子
这里(2，q)表示2与q的最大公因子（上式中q当然是奇数，所以与2互素，最大公因子是1）。现在亨泽尔定义a的新绝对值，称为“2-进绝对值”，为
由此自然导出如下的2-进距离
你可以轻松验证这真的是距离！（什么是距离？《数学的天空》第50页给出的解释不错，可以参考。）
学数学的正确姿势是：动手算几个！（以下略去下标2）
看看，2和6的距离可是比2与5的距离小多了，也只是2与4的距离的一半。
现在我们可以看本文开头的无穷级数了，其公比为2，但2的2进绝对值是多少？0.5。所以该级数收敛，其和大家都知道：首项/(1-q)，q是公比！所以
千真万确！
对2能干此事，对任意的素数p当然也能干。大显身手的时刻到来了，还犹豫什么？拿出纸笔，超越学霸！
利用p-进理论即可完全解决二次丢番图方程的定解问题（何时有解，何时无解），虽然复杂，确实有效。
除了上述神奇之外，p-进理论的惊艳之处绝对让你目不暇接。比如，p-进距离具有超距性！即
请比较普通绝对值的三角不等式。因此，p-进理论下的三角形都是等腰三角形！
