（急）多元函数微积分证明题
（急）多元函数微积分证明题设函数u=f(x,y,z),x=rsinψcosθ,y=rsinψsinθ,z=rcosψ,其中f具有连续偏导数,证明：1.如果xdu/dx+ydu/dy+zdu/dz=0,则u仅是ψ和θ的函数;2.如果(du/dx)/x=(du/dy)y=(du/dz)/z,则u仅是r的函数、偏导符号打不出来,用d代替.
最佳回答
等待的羊
2026-04-04 16:51:20
1。du/dr = du/dx * dx/dr + du/dy * dy/dr + du/dz * dz/dr
= du/dx sinψcosθ + du/dy sinψsinθ + du/dz cosψ
= 1/r [xdu/dx + ydu/dy +zdu/dz) =0
所以u与r无关,只是ψ和θ的函数
2。同理,
du/dθ = du/dx dx/dθ + du/dy dy/dθ + du/dz dz/dθ
= -rsinθsinψ du/dx + rsinψcosθdu/dy
= -r^2sin^2ψ sinθ cosθ[du/dx /x - du/dy /y]=0
同理可以怎么du/dψ =0
所以u只与r有关
= du/dx sinψcosθ + du/dy sinψsinθ + du/dz cosψ
= 1/r [xdu/dx + ydu/dy +zdu/dz) =0
所以u与r无关,只是ψ和θ的函数
2。同理,
du/dθ = du/dx dx/dθ + du/dy dy/dθ + du/dz dz/dθ
= -rsinθsinψ du/dx + rsinψcosθdu/dy
= -r^2sin^2ψ sinθ cosθ[du/dx /x - du/dy /y]=0
同理可以怎么du/dψ =0
所以u只与r有关
最新回答共有2条回答
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2026-04-04 16:51:20儒雅的画板
回复1。du/dr = du/dx * dx/dr + du/dy * dy/dr + du/dz * dz/dr= du/dx sinψcosθ + du/dy sinψsinθ + du/dz cosψ= 1/r [xdu/dx + ydu/dy +zdu/dz) =0所以u与r无关,只是ψ和θ的函数2。同理,du/dθ = du/dx dx/dθ + du/dy dy/dθ + du/dz dz/dθ= -rsinθsinψ du/dx + rsinψcosθdu/dy = -r^2sin^2ψ sinθ cosθ[du/dx /x - du/dy /y]=0同理可以怎么du/dψ =0所以u只与r有关
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