已知单调递增函数:y=f(x)(x∈D,y∈A)试证明其反函数y=f-1(x)也是单调递增函数

单调性是很容易说明的。如果y1,y2∈A,y1 < y2,要证明f-1(y1) < f-1(y2)。
注意到如果y1和y2在值域中,那么存在x1和x2使得f(x1) = y1, f(x2) = y2。又由于f是单调的,所以f是单射,这样的x1和x2是唯一的。于是
f-1(y1) = x1, f-1(y2) = x2。
如果x1 >= x2,那么由f的单调性,y1 >= y2,矛盾。因此只能有x1 < x2。说明f-1是单调的。
不过上面的证明只是对值域中的y1和y2成立。如果没有给f不是连续的,那么值域A可能是一个很奇怪的集合。