已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值．
最佳回答
激昂的鸡
2026-04-06 19:41:27
（1）设f（x）=ax2+bx+c，
则f（x+1）-f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=2ax+a+b
∴由题
c＝1
2ax+a+b＝2x恒成立
∴
2a＝2
a+b＝0
c＝1 得
a＝1
b＝−1
c＝1
∴f（x）=x2-x+1
（2）f（x）=x2-x+1=(x−
1
2)2+
3
4在[-1，
1
2]单调递减，在[
1
2，1]单调递增
∴f(x)min＝f(
1
2)＝
3
4，f（x）max=f（-1）=3
则f（x+1）-f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=2ax+a+b
∴由题
c＝1
2ax+a+b＝2x恒成立
∴
2a＝2
a+b＝0
c＝1 得
a＝1
b＝−1
c＝1
∴f（x）=x2-x+1
（2）f（x）=x2-x+1=(x−
1
2)2+
3
4在[-1，
1
2]单调递减，在[
1
2，1]单调递增
∴f(x)min＝f(
1
2)＝
3
4，f（x）max=f（-1）=3
最新回答共有2条回答
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2026-04-06 19:41:27冷酷的小蘑菇
回复（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）-f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=2ax+a+b∴由题c＝12ax+a+b＝2x恒成立∴2a＝2a+b＝0c＝1 得 a＝1b＝−1c＝1∴f（x）=x2-x+1（2）f（x）=x2-x+1=(x−12)2+34在[-1，12]单调递减，在[12，1]单调递增∴f(x)min＝f(12)＝34，f（x）max=f（-1）=3
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