课程导报华东师范版数学八年级上第8期报纸答案

【检测1】等边对等角；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高。 【检测2】提示：用“SAS”证明△ADB≌△ADC。【问题1】证明：∵AB＝AC,AO＝AO,OB＝OC．∴△AOB≌△AOC(SSS)．∴∠OAB＝∠OAC．∵AB＝AC,∴AO⊥BC 。 【问题2】设∠ACD＝α,则∠EDC＝α,∠A＝∠AED＝2α,∠ACB＝∠B＝∠BDC＝∠A＋∠ACD＝3α．在△ABC中,由内角和定理得2α＋3α＋3α＝180°,∴α＝22。5°．∴∠A＝2α＝45°。 1．D。 2．C。 3．证明：∵AB＝AC,∴∠B＝∠C．∵∠EAC＝∠B＋∠C,∴∠EAC＝2∠B．∵AD平分∠EAC,∴∠EAC＝2∠EAD．∴∠B＝∠EAD．∴AD‖BC。 4．105°。 5．∵AB＝AC,∴∠C＝∠B＝35°．在△ABC中,∠BAC＝180°－35°×2＝110°．∵点D在AC的垂直平分线上,∴DA＝DC．∴∠DAC＝∠C＝35°．∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝110°－35°＝75°。6．证法一：∵PA＝PB,∴∠A＝∠B．又∵AC＝BD,∴△PAC≌△PBD(SAS)．∴PC＝PD．∴∠PCD＝∠PDC．证法二：过点P作PE⊥AB于点E．∵PA＝PB,PE⊥AB．∴AE＝BE．∵AC＝BD．∴CE＝DE．∴PC＝PD．∴∠PCD＝∠PDC。 7．设∠C＝α,则∠B＝∠CAD＝α,∠BDA＝∠BAD＝2α,于是α＋2α＋2α＝180°,解得α＝36°．故∠ADB＝72°。 8．此题分三种情况．(1)当底边上的高与一腰的夹角是40°时,如图①,顶角是80°,从而两个底角是50°,50°；(2)当一腰上的高与另一腰的夹角是40°且高在三角形内部时,如图②,顶角是50°,从而两个底角是65°,65°；(3)当一腰上的高与另一腰的夹角是40°且高在三角形外部时,如图③,顶角是130°,从而两个底角是25°,25°．综上所述,三个角的度数为80°,50°,50°或50°,65°,65°或130°,25°,25°。 9．（1）∵DA= DC,∴∠A=∠ACD=30°,∴∠CDB=60°．∵DB=DC,∴∠B=∠DCB=60°,∴∠ACB=90°；（2）∠ACB=90°； （3）不论∠A等于多少度（小于90°）,∠ACB总等于90°。10．B。 11．证明：连接DE,DF．∵AB＝AC,∴∠B＝∠C．又∵BD＝CF,BE＝CD,∴△BDE≌△CFD(SAS)．∴DE＝DF．∵EG＝GF,∴DG⊥EF．第6课时 12。3等腰三角形(2)【检测1】D。 【检测2】证明：过点A作AD⊥BC,垂足为D．∵∠B＝∠C,∠ADB＝∠ADC,AD＝AD,∴△ADB≌△ADC(AAS)．∴AB＝AC；(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等或“等角对等边”。 【问题1】已知：如图,∠DAC是△ABC的外角,且∠DAC＝2∠B．求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵∠DAC＝2∠B,又∵∠DAC＝∠B＋∠C,∴∠B＝∠C．∴△ABC是等腰三角形 【问题2】∵BD⊥EF,∴∠F＋∠FCD＝90°,∠B＋∠E＝90°。∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB。∵∠FCD＝∠ACB,∴∠B＝∠FCD。∴∠E＝∠F。∴AE＝AF。∴△AEF是等腰三角形。1．C。 2．2cm。 3．∵PD‖OB,∴∠DPO＝∠BOC．∵∠BOC＝∠AOC,∴∠DPO＝∠AOC．∴DP＝DO,即△DOP是等腰三角形。 4．3。 5．(1)证明：∵∠C＝90°,∠BAC＝30°,∴∠ABC＝60°．∵BD平分∠ABC,∴∠DBA＝30°．∴∠BAC＝∠DBA．∴AD＝BD；(2)在△PAB中,∠BPA＝180°－ ＝135°。 6．证法一：∵AB＝AC,∴∠B＝∠C．∵DE⊥BC,∴∠BDE＋∠B＝90°,∠F＋∠C＝90°。∴∠BDE＝∠F．∵∠BDE＝∠ADF,∴∠F＝∠ADF．∴AF＝AD．证法二：过点A作AH⊥BC于点H．∵AB＝AC,AH⊥BC,∴∠HAB＝∠HAC．∵FE⊥BC,AH⊥BC,∴FE‖AH．∴∠HAC＝∠F,∠HAB＝∠ADF．∴∠F＝∠ADF．∴AF＝AD。 7．连接CD．∵AD＝BC,AC＝BD,DC＝CD．∴△ADC≌△BCD．∴∠ACD＝∠BDC．∴OD＝OC。 8．6。 9．证明：在DC上截取DE＝DB,连接AE．则AB＝AE,∴∠B＝∠AEB．∵∠B＝2∠C,∴∠AEB＝2∠C．∵∠AEB＝∠C＋∠EAC,∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC．∴DC＝DE＋EC＝BD＋AB。 10．D。 11．(1)证明：∵AB＝BA,AC＝BD,∠C＝∠D＝90°,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴∠EAB＝∠EBA．∴AE＝BE。(2)∵∠AEC＝45°,∠C＝90°,∴∠CAE＝45°．∴∠CAE＝∠CEA．∴CE＝AC＝1。 第7课时 12。3等腰三角形(3)【检测1】相等,60；等边三角形,60,60。 【检测2】一,三,作图略。【问题1】∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°．又∵AD=AE,∴△ADE是等腰三角形．∴△ADE是等边三角形．【问题2】DE=DB,理由：∵CD=CE,∴∠E=∠EDC．又∵∠ACB=60°,∴∠E=30°．又∵∠DBC=30°,∴∠E=∠DBC,∴DB=DE． 1．150m。 2．B。 3．∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC＝60°．∵AD⊥BC,∴∠DAC＝30°．∵AE＝AD,∴∠ADE＝ ×(180°－30°)＝75°．∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝15°。 4．4。 5．D。 6．∵AP＝PQ＝AQ,∴△APQ是等边三角形．∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°．∵AP＝BP,∴∠BAP＝∠B＝ ∠APQ＝30°．同理,∠CAQ＝30°．∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠CAQ＝30°＋60°＋30°＝120°。 7．（1）∵△ABC为等边三角形,∴∠B＝∠ACB＝60°,BC＝AC。又∵BE＝CD．∴△BCE≌△CAD(SAS)．∴CE＝AD．（2）由（1）得∠ECB＝∠DAC．∴∠APE＝∠DAC＋∠ECA＝∠ECB＋∠ECA＝∠ACB＝60°。 8．证明：如图,延长AE到M,使EM＝AB,连接DM．∵△ABC为等边三角形,∴∠A＝60°,且AB＝AC．∴EM＝AC．∵CD＝AE,∴CD＋AC＝AE＋EM．即AD＝AM．∴△ADM是等边三角形．∴DA＝DM,且∠M＝60°．在△DAB和△DME中, ∴△DAB≌△DME(SAS)．∴DB＝DE。 9．(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形,∴CA＝CD,CE＝CB,∠ACD＝∠BCE＝60°．于是∠DCE＝60°．∠ACE＝∠DCB＝120°．∴△ACE≌△DCB(SAS)。 ∴AE＝DB。(2)由第(1)问的结论得∠CAE＝∠CDB．∵CA＝CD,∠ACG＝∠DCH＝60°．∴△ACG≌△DCH(ASA)．∴CG＝CH．而∠DCE＝60°．∴△CGH是等边三角形。 10．B。 11．证明：(1)∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴∠ABC＝∠BCD＝90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形,∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°。 ∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°,∠PCD＝ ∠BCD－∠PCB＝30°．∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°．∴∠PBA＝∠PCQ＝30°．(2)∵AB＝DC＝QC,∠PBA＝∠PCQ,PB＝PC,∴△PAB≌△PQC,∴PA＝PQ．第8课时 12。3等腰三角形(4)【检测1】一半。 【检测2】4cm。 【问题1】连接AD．∵AB＝AC,点D为BC的中点,∴AD⊥BC,∠BAD＝60°．从而∠ADE＝30°。∴AD＝2AE。由∠B＝30°得AB＝2AD。∴AB＝4AE,BE＝3AE．∴AE∶EB＝1∶3。 【问题2】有触礁的危险．过点P作PC⊥AB,垂足为点C．∵∠BPA＝∠PBC－∠A＝15°,∴∠BPA＝∠A,∴AB＝PB＝15×2＝30．在Rt△PBC中,PC＝ PB＝15海里＜18海里。故不改变方向,继续向前航行有触礁的危险。 1．12。 2．4cm2 。 3．连接MA,∵MN垂直平分AB,∴MB＝MA＝12。且∠AMC＝2∠B＝30°．∴AC＝ AM＝6(cm)。 4．3cm。 5．∵ AB＝AC,∠BAC＝120°,∴∠B＝∠C＝30°．在Rt△CDE中,DC＝2DE＝10．∵DE垂直平分AC,∴DA＝DC＝10．∴∠DAC＝∠C＝30°．于是∠BAD＝120°－30°＝90°．在Rt△BAD中,BD＝2AD＝20．故BC＝BD＋DC＝20＋10＝30(cm)。 6．∵△ABC是等边三角形,BD为中线,∴∠ACB＝60°,于是∠DBC＝30°．∴DC＝ BC．∵ DE＝DB,∴∠E＝∠DBE＝30°。∴∠CDE＝∠ACB－∠E＝30°．∴DC＝CE。 ∴CE＝ BC．7．过点P作PC⊥OB于点C．∵PE⊥OA,OP平分∠AOB,∴PE＝PC．∵PD‖OA,∴∠OPD＝∠POA．∵∠POB＝∠POA,∴∠OPD＝∠POB．∴PD＝OD．∴∠PDC＝∠AOB＝30°。又∵OD＝4cm,∠PCD＝90°,∴PC＝ PD＝2 cm．∴PE＝PC＝2 cm。 8．这个命题是正确的．已知：如图1,在△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝2BC．求证：∠BAC＝30°．证明：延长BC到点D,使CD＝BC,连接AD．由线段的垂直平分线的性质得AB＝AD．∵AB＝2BC,BD＝2BC．∴AB＝BD．∴AD＝AB＝BD．即△ABD是等边三角形．∴∠B＝60°．∴∠BAC＝30°。 9．(1)当∠BQP＝90°时,BQ＝ BP．即t＝ (3－t),t＝1(s)；(2)当∠BPQ＝90°时,BP＝ BQ．即3－t＝ t,t＝2(s)．故当t＝1 s或t＝2 s时,△PBQ是直角三角形。 10．225a。 提示：过点B作BD⊥AC,垂足为D．则∠BAD＝30°,BD＝ AB＝15m。 11．(1)如图2；(2)∵l垂直平分AB,∴∠EDB＝90°,EA＝EB．∴∠EBA＝∠A＝30°．∵∠ACB＝90°,∴∠ABC＝60°．∴∠EBC＝∠EBD＝30°．∴DE＝CE＝ BE．又∵∠F＝90°－∠ABC＝30°,∴EF＝2CE．∴EF＝2DE．