求教一道考研数学极限问题

可以将误差项写出来。
ln(1+3/x) = 3/x+o(1/x),进而sin(ln(1+3/x)) = 3/x+o(1/x)。
ln(1+1/x) = 1/x+o(1/x),进而sin(ln(1+1/x)) = 1/x+o(1/x)。
相减得sin(ln(1+3/x))-sin(ln(1+1/x)) = 2/x+o(1/x)。
乘以x得x(sin(ln(1+3/x))-sin(ln(1+1/x))) = 2+o(1)。
即得lim{x→∞} x(sin(ln(1+3/x))-sin(ln(1+1/x))) = 2。