1、求一个正交变换,将二次型f（x1,x2,x3）=2x12+3x22+3x32+4x2x3化成标准形.

二次型的矩阵 A=2 0 00 3 20 2 3|A-λE| =2-λ 0 00 3-λ 20 2 3-λ= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]= (1-λ)(2-λ)(5-λ)。所以 A 的特征值为 1,2,5。A-E =1 0 00 2 20 2 2r3-r2,r2*(1/2)1 0 00 1 10 0 0(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'。A-2E =0 0 00 1 20 2 1r3-2r20 0 00 1 20 0 -3r3*(-1/3),r2-2r30 0 00 1 00 0 1(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'。A-5E =-3 0 00 -2 20 2 -2r1*(-1/3),r3+r2,r2*(-1/2)1 0 00 1 -10 0 0(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'。a1,a2,a3 单位化得b1=(0,1/√2,-1/√2)'b2=(1,0,0)'b3=(0,1/√2,1/√2)'令 P = (b1,b2,b3),则 P 是正交矩阵,且P^-1AP = diag(1,2,5)。故 X=PY 是正交变换,满足f = y1^2+2y2^2+5y3^2。 再问： 答案是f = 2y1^2+y2^2+5y3^2。 有区别么 再答： 没区别 只是要注意: P的列向量与特征值1,2,5的对应 如果答案是f = 2y1^2+y2^2+5y3^2 P应该是 (b2,b1,b3)