交集,子集,空集等概念和符号

(1)当A={x:P(x)} 和 B = {y:Q(y)}为集合的时候,因R(z) = P(z) and Q(z) 成为一个新的性质,于是就可以考虑成一个新的集合C = {z:R(z)}。称其为,集合 A 和B的 交 或 交集(Intersection),写作C = A ∩ B 。因为性质P(x) 和 x ∈ A ,Q(x) 和x ∈ B 等价,所以 A ∩ B = {x:R(x)} = {x:P(x) and Q(x)} = {x:x ∈ A and x ∈ B}
成立。也就是说A 和 B 的交集就是 ,A 和 B 共有元素的集合。
下面是一部分公式：
1。A ∩ A = A
2。A ∩ B = B ∩ A (交换律)
3。A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (结合律)
4。A ∩ φ = φ ∩ A = φ
还有如果A={a,b,c},B={b,c,d},那么A ∩ B = {b,c}
其它的公式：
5。A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (分配律)
6。A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (分配律)
7。A ∪ (A ∩ B) = A
8。A ∩ (A ∪ B) = A
和并集一样用图示来表示交集。
(2)子集定义：一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A。