设x＞-1,用拉格朗日中值定理证明不等式x/x+1≤ln(x+1)≤x

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先证明又边不等式
构造函数f(x)=x-ln(1+x),x＞-1。
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当-1＜x＜0时,
易知,在区间[x,0]上,由拉格朗日中值定理可知,
存在ξ∈(x,0)
满足f(0)-f(x)=f'(ξ)×(0-x)
∴ln(1+x)-x=-xξ/(1+ξ)
易知,-xξ/(1+ξ)＜0
∴ln(1+x)＜x
[[2]]
当x=0时,显然,ln(x+1)=x
[[[3]]]
当x＞1时。
构造函数f(x)=x-ln(x+1)
易知,在区间[0,x]上,由拉格朗日中值定理可知
存在ξ∈(0,x)
满足f(x)-f(0)=f'(ξ)×(x-0)
∴x-ln(x+1)=[1-(1/(ξ+1))]x=xξ/(ξ+1)＞0
∴ln(x+1)＜x
综上可知,ln(x+1)≤x
[[[[[2]]]]]
左边同理可证。