求助已知A是n阶正定矩阵,B是n阶反对称矩阵,证明A-B^2也为正定矩阵.

对非零列向量x
Bx 是一个列向量
则 (Bx)'(Bx) >= 0 [这里要求B是实矩阵--线性代数默认]
这是内积的非负性(一个性质),原因:设 Bx =(a1,。。。,an)'
则 (Bx)'(Bx) = a1^2+。。。+an^2 >=0。
所以 x' (A-B^2)x
= x'Ax + x'B'Bx [ B' = -B]
= x'Ax + (Bx)'(Bx) [ A正定,x'Ax>0]
>0
所以 A-B^2也为正定矩阵