第七章一个例题,有关偏序关系的证明

T插中间表示(, )属于T。
证：要证T为A*B上得偏序关系,只需证T是自反的、反对称的、传递的；
(1)任取属于A*B,由和为偏序集,故aRa（即属于R）和bSb,故aRa∧bSb；由条件知aRa∧bSb T。故(, )属于T。由自反性的定义知T是自反的。
(2)任取(, ）属于T,若(, )属于T,由和为偏序集,故若属于R且属于R,则由反对称性知 = ,即a1Ra2 = a2Ra1；同理,b1Sb2 = b2Sb1。故T a1Ra2∧b1Sb2 a2Ra1∧b2Sb1 T。故 = 。由反对称的定义知T是反对称的。
(3)任取, , 属于A*B,使(, )属于T且(, )属于T。由和为偏序集,故若属于R且属于R,则由传递性知属于R,即a1Ra2∧a2Ra3 => a1Ra3；同理,若b1Sb2∧b2Sb3 => b1Sb3。
由T a1Ra2∧b1Sb2,T a2Ra3∧b2Rb3,得T ∧ T (a1Ra2∧b1Sb2)∧(a2Ra3∧b2Rb3) (a1Ra2∧a2Ra3)∧(b1Sb2∧b2Sb3) => a1Ra3∧b1Sb3 T。故（, )属于T。由传递的定义知T是传递的。
综上所述,由偏序关系的定义知T为A*B上得偏序关系。