微积分 ∫根号下(x^2+1) dx

积分:根号(x^2+1)dx
思路:分部积分法很有用!
=x*根号(x^2+1)-积分:xd(根号(x^2+1))
=x根号(X^2+1)-积分:x^2/根号(x^2+1)dx
=x根号(x^2+1)-积分:(x^2+1-1)/根号(x^2+1)dx
=x根号(x^2+1)-积分:根号(x^2+1)+积分:dx/根号(x^2+1)
先求:积分:dx/根号(x^2+1)
令x=tant
dx=d(tant)=sec^2tdt
原式
=积分:sec^2tdt/sect
=积分:sectdt
=积分:cost/cos^2tdx
=积分:d(sinx)/(1-sin^2x)
=1/2ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
x=tant代入有:
=ln|x+根号(x^2+1)|+C
令原来的积分是Q
Q==x根号(x^2+1)-Q+积分:dx/根号(x^2+1)
2Q=x根号(x^2+1)+ln|x+根号(x^2+1)|+C
所以
Q=1/2[x根号(X+1)+ln|x+根号(x^2+1)|+C
(C 是常数)