柯西、均值不等式的简单问题- -已知a+b+c=1且abc都为正数.求（a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)

问题在于两次放缩的等号不能同时成立, 所以得到的下界不能取到, 不是最小值。
其中均值不等式取等需要a²+b²+c² = 1/a²+1/b²+1/c²。
而Cauchy不等式取等需要a²:b²:c² = 1/a²:1/b²:1/c², 得a² = b² = c²。
在a+b+c = 1且a, b, c > 0的条件下有a = b = c = 1/3。
此时均值不等式等号不能成立。
求最小值的问题最好验证一下最小值能否取到。
我的方法是这样。
由Cauchy不等式或幂平均不等式有a²+b²+c² ≥ (a+b+c)²/3 = 1/3。
同理1/a²+1/b²+1/c² ≥ (1/a+1/b+1/c)²/3。
而由Cauchy不等式有1/a+1/b+1/c = (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9。
于是1/a²+1/b²+1/c² ≥ 9²/3 = 27。
(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)² ≥ 1/3+27+6 = 100/3。
易见a = b = c = 1/3时等号成立, 故最小值为100/3。