已知线段AB过y轴上一点P（0，m）（m＞0），斜率为k，两端点A，B到y轴距离之差为4k（k＞0），

学习时间:2026-03-30 16:04:18 阅读：449

已知线段AB过y轴上一点P（0，m）（m＞0），斜率为k，两端点A，B到y轴距离之差为4k（k＞0），（1）求以O为顶点，y轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点．

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冷静的铅笔

2026-03-30 16:04:18



（1）设AB的方程为y=kx+m，过A，B两点的抛物线方程x²=2py，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则由

x2=2py
y=kx+m，可得x²-2pkx-2pm=0．（2分）
∴x₁+x₂=2pk，
又依题意有|x₁+x₂|=4k=2pk，
∴p=2．
∴抛物线方程为x²=4y．（6分）
（2）设M（x₁，

x21
4），N（x₂，

x22
4），Q（x₀，-1），
∵k_MQ=
x1
2，
∴MQ的方程为y-

x21
4=
x1
2（x-x1），
∴x₁²-2x₁x+4y=0．（8分）
∵MQ过Q，∴x₁²-2x₁x₀-4=0，
同理x₂²-2x₂x₀-4=0，
∴x₁，x₂为方程x²-2x₀x-4=0的两个根，
∴x₁x₂=-4．（10分）
又k_MN=
x1+x2
4，
∴MN的方程为y-

x21
4=
x1+x2
4（x-x₁）
∴y=
x1+x2
4x+1，
所以直线MN过点（0，1）．（12分）

已知线段AB过y轴上一点P（0，m）（m＞0），斜率为k，两端点A，B到y轴距离之差为4k（k＞0），

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