已知函数f（x）=ax−1ax+1（a＞0且a≠1）．

（1）∵∀x∈R，都有ax＞0，∴ax+1＞1，故函数f（x）=ax−1ax+1（a＞0且a≠1）的定义域为实数集R．∵f（x）=ax−1ax+1=1-2ax+1，而ax＞0，∴ax+1＞1，∴0＜2ax+1＜2，∴-2＜-2ax+1＜0，∴-1＜1-2ax+1＜1．即-1＜f（x）＜1．∴函数f（x）的值域为（-1，1）．（2）函数f（x）在实数集R上是奇函数．下面给出证明．∵∀x∈R，f（-x）=a−x−1a−x+1=1−ax1+ax=-ax−1ax+1=-f（x），∴函数f（x）在实数集R上是奇函数．（3）∀x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=1-2ax1+1-（1-2ax2+1）=2(ax1−ax2)(ax1+1)(ax2+1)，若a＞1，∴ax1+1＞0，ax2+1＞0，ax1-ax2＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴当a＞1时，函数f（x）在实数集R上单调递增．若0＜a＜1，∴ax1+1＞0，ax2+1＞0，ax1-ax2＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴当0＜a＜1时，函数f（x）在实数集R上单调递减．