数学分析中连续函数的零点及其极限

证明第二问：我们说必有Cn＜1若不然,假设Cn≥1则有1=(Cn)^n+ Cn≥1+1=2这便说明了Cn有上界。下面我们再来证明它严格单调增,即有C（n+1)＞Cn若不然,假设C（n+1)≤Cn再考虑到Cn＜1,便有1=[C（n+1)]^（n+1）+C（n+1)＜(Cn)^n+ Cn=1至此,我们证明了Cn是单调增有上界的。从而当n→∞时,Cn收敛。下面我们来证明n→∞时,Cn→1我们数列极限的定义来证明。设ε是任给的正数（无妨设ε＜1）,我们说必存在某个正整数k,使Ck＞1-ε若不然,假设对所有n,都有Cn≤1-ε那么易知n→∞时,（Cn）^n→0,即存在正整数s,使当n＞s时,恒有（Cn）^n＜0。5ε从而n＞s时,1=(Cn)^n+ Cn＜0。5ε+1-ε=1-0。5ε矛盾。从而必存在某个正整数k,使Ck＞1-ε。再由Cn的严格单调增,可知当n＞k时,Cn＞Ck＞1-ε这就是说,当n＞k时,0＜1-Cn＜ε至此,我就用数列极限的定义,证明了当n→∞时,Cn→1。完。唉,一路下来,全是反证法。