求证:任意9个自然数中必有5个,它们的和是5的倍数

我的方法有些麻烦,应该还有更好的方法,暂且为lz写上 ------------------------------- 设这9个数为a1,a2,。。。,a9。现在反设这9个数中任何5个之和都不是5的倍数 那么,他们被5除的余数不可能遍历0,1,2,3,4(否则加起来就能被5整除了)。换句话说,这9个数被5除的余数最多只能有4种取值。根据抽屉原理,9个数中必然存在三个数被5除余数相同。不妨设是a7,a8,a9。他们被5除余r 现考察新数组bi=ai-r(i=1,2,。。。,9) 则显然b7,b8,b9都被5整除,且对b1,b2,。。。,b9这9个数而言,仍满足：任何5个之和都不是5的倍数。(否则对应的ai之和就是5的倍数了) 现在b1,b2,。。。,b6中最多只有1个5的倍数,所以不妨设b1,b2,。。。,b5都不被5整除。根据抽屉原理,其中必有2个数被5除余数相同。不妨设是b1,b2。被5除余数为k 若k=1,则b3,b4,b5被5除都不能余3也不能余4,所以只能余1或2了。易见全1,1个1 2个2,2个1 1个2,全2这4种情况中的任何一种的都导致矛盾!同理可证若k=2,3,4,也将导致矛盾!所以,反设不成立,命题得证----------------------------to 随云公子：我不生气,但是觉得可笑,你连我的证明方法都没看明白就妄加品论。我把这9个数每个数都减去了r,又不只是那3个数减去r。所以a1+a2+a3+a4+a5被5整除与否与b1+b2+b3+b4+b5被5整除与否是等价的。懂么?lz说得没错,要证明1000的情况就只要证明2,5的情况就行了。推广到任意n也是没问题的,单樽在他1983年的一篇论文《初等数论中的一个猜测》中已经证明了这件事情,lz可以去搜搜这篇论文来看。