什么是自然数集,有理数集,整数集,正整数集,实数集

自然数是从人们数手指头计数开始的,自然数集合有一个最小数0,以后的数都是从0开始向后加1,1、2、3、4、。。。自然数最重要的性质是数学归纳法：如果一个公式P对0成立P(0),假设它对n成立P(n),能够推导出它对n+1也成立P(n+1),那么对于一切自然数P都成立。自然数集合中的数可以做加法和乘法运算,结果还是自然数,但是自然数做减法结果不一定是自然数,比如1-3=-2就不是自然数,为了能让自然数随便做减法,只能扩大数集,于是产生了整数集合,在整数集合中,加法减法乘法可以随便做,结果还在整数集合中,但是整数集合中做除法,结果不一定是整数,-6/3=-2是整数,但是-5/3结果却不是整数,为了能让整数随意做除法(0不能做除数),有必要扩大数集,这样就产生了有理数,有理数集合中的有理数,形如m/n,m、n是整数,比如-1可以写作-1/1,其中m=-1,n=1,有了有理数以后,加减乘除都可以做了,数学运算应该圆满了,没漏洞了,后来发现,根据几何学勾股定理：a^2+b^2=c^2,c是直角三角形斜边边长,a、b是两条直角边边长。如果边长是1的直角三角形,斜边边长c^2=1^2+1^2=2,问题来了,c^2=2,假设c=m/n,m、n没有公因数,那么m^2/n^2=2,m^2=2n^2,那么m应该是2的倍数,设m=2q,(2q)^2=2n^2,得n^2=2q^2,结果n也是2的倍数,说明m、n之间有公因数2,跟假设m、n没有公因数矛盾,假设错误,斜边c不能表示成有理数m/n形式,叫做无理数,圆周率π,自然对数e都是无理数,为了能让有理数进行开方运算和极限运算,必须扩大数集,结果产生了实数,实数集合包括有理数和无理数,无理数本质上不能得到精确结果的,就像上面那个证明,任何形式的m/n都表示不了无理数,不管m、n如何取值,人们只能近似得到无理数值,像圆周率的3。14159265358979323846。它是无限不循环小数,人们取到它的值的方法只能是：比3大比4小,那么取3,如果取3的计算精度不够,那就再取一位,比3。1大比3。2小,精度不够再取,比3。14大比3。15小,如此循环下去,从上界和下界两个方向不断逼近它,知道得到满意的精度为止,在高等数学中,这个不断逼近的过程就是实数的构造过程,当你给出需要的精度ε后,逼近足够次数N后,实数的上界Xsup、下界Xinf、它们之间的任意数Xm、Xn,其差的绝对值小于ε,比如|Xm-Xn|