三角形ABC为等边三角形,底边为BC,在底边BC下方有一个D点,与B、C组成等腰三角形,使DB=DC,角BDC=120°

如图 延长AC至点E,使得CE=BM,连接DE 设∠CDN=∠1,∠BDM=∠2,∠CDE=∠3 因为△ABC为等边三角形,所以：∠ABC=∠ACB=60° 又,△DBC为顶角为120°的等腰三角形,所以：∠DBC=∠DCB=30° 所以,∠MBD=∠NCD=60°+30°=90° 即,△MBD和△NCD均为直角三角形 所以,△DCE也是直角三角形 那么,在Rt△MBD和Rt△ECD中：BD=CD（已知） ∠MBD=∠ECD=90°（已证） MB=CE（所作） 所以,Rt△MBD≌Rt△ECD(SAS) 所以,∠2=∠3,MD=ED 已知∠BDC=120°,∠MDN=60° 所以,∠1+∠2=60° 所以,∠1+∠3=60° 则,∠1+∠2=∠MDN 即,∠EDN=∠MDN 所以,在△MDN和△EDN中：MD=ED（已证） ∠MDN=∠EDN（已证） DN公共 所以,△MDN≌△EDN（SAS） 所以,MN=EN=EC+CN=BM+CN