数学问题:已知线段AB在平面α内,A,B两点到平面α的距离分别是1和3

1画过A,B两点的平面α的垂面β,则α在β上的投影为一直线。则可知有两种情况,分别为A,B在α的同侧和异侧。同侧时,为 （1+3）/2=2；异侧时,为 （3-1）/2=1。2作图可看出,EF平行且相等于（1/2）AC,GH也平行且相等于（1/2）AC,故E,F,G,H四点共面。而且,EH和FG皆平行且相等于（1/2）BD。因此,EF与EH之间同AC与BD一样,也30度角。E,F,G,H四点构成平行四边形。EF=（1/2）AC=3；EH=（1/2）BD=2；则,根据正弦定理,S平行四边形EFGH=2·S△EFH=3×2×sin30°=3。3由三角形的三边关系可知,当P,A,B不共线时,PA-PB＜AB;而当P,A,B共线时,PA-PB=AB,故当P,A,B共线时PA-PB最大;其值等于AB。由基础立体几何知识可知,AB=√[A1B1^2 + (AA1 -BB1)^2]=√[(3√3)^2 +(4-1)^2]=6。即:PA-PB的最大值为 6