如图所示，△ABC是正三角形，△A1B1 C1的三条边A1B1、BlC1、C1A1交△ABC各边分别于C2、C

学习时间:2026-03-29 17:47:33 阅读：1145

如图所示，△ABC是正三角形，△A1B1C1的三条边A1B1、BlC1、C1A1交△ABC各边分别于C2、C3，A2、A3，B2、B3．已知A2C3=C2B3=B2A3，且C2C32+B2B32=A2A32．请你证明：AlB1⊥C1A1．

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2026-03-29 17:47:33

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证明：如图，过A₂作C₃C₂的平行线交过C₂所作C₃A₂的平行线于点O，连接OA₃、0B₃，∴A₂OC₂C₃是平行四边形，∴A₂O∥C₃C₂，且A₂O=C₃C₂，OC₂∥A₂C₃且OC₂=A₂C₃=B₃C₂，∴△OB₃C₂是正三角形，∴∠OB₃C₂=60°=∠B，∴OB₃∥A₃B₂，又∵0B₃=B₃C₂=A₃B₂，∴OB₃B₂A₃是平行四边形，∴OA₃∥B₃B₂且OA₃=B₃B₂，∵C₂C₃²+B₂B₃²=A₂A₃²，∴OA₂²+OA₃²=A₂A₃²，在△A₂OA₃中，∵OA₂²+OA₃²=A₂A₃²，∴由勾股定理的逆定理得∠A₂OA₃=90°，∵已证OA₃∥B₃B₂，即OA₃∥A₁C₁，A₂O∥C₃C₂，即A₂O∥B₁A₁，∴∠C₁A₁B₁=90°，∴A₁B₁⊥C₁A₁．

如图所示，△ABC是正三角形，△A1B1 C1的三条边A1B1、BlC1、C1A1交△ABC各边分别于C2、C

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