关于公房的问题

父亲去世，留一单位公房，房子无产权，房票原为父亲名字，后由于采暖费报销问题改为妹妹名字（妹妹同父亲一个单位），同时妹妹离婚，户口在此房；现在，姊妹三人，答成协议，将房子给姐姐，姐姐出钱给妹妹补贴，母亲同姐姐一起生活；但生活一年中，姐姐对母亲的照顾并不好。。。 问题：1、姐妹三人答成的协议是否有效？（只有三人签字，无母亲签字,亦无公正） 2、在法律上，该房子的使用权是否为妹妹？