有关劳动关系和解除劳动关系证明的问题

我在原单位工作了一年多,没有调转档案关系,也没上保险 （单位是用一定的现金代替保险和工资一同发放，没有什么特别证明）而我自己也没有上,这样的话我和原单位算不算有正式的劳动关系?另外我从原单位出来后在找新工作,有人说要开什么解除劳动关系证明因为新单位可能会要,我想知道这种情况下到新单位就业是否还用开具相关证明？如果开具不方便可否用失业证明代替(我离开原单位有一段时间了)?另外在这方面国有事业单位和企业单位规定有区别吗?谢谢