勾股定理逆定理多个证法

已知△ABC的三边为a,b,c,且a∶b∶c=1∶1∶ 。求三内角的比。分析 将比例通过设k,使线段量化后,再判断三角形是否为直角三角形,是解决已知三边或三边之比的问题常用的方法之一。解 设a=b=k,则c= k。a2+b2=2k2=c2 ∴△ABC为直角三角形,又a∶b=1∶1 a=b∴两锐角分别为45°,45° ∴三内角比为1∶1∶2。常见问题4:勾股定理的逆定理2问题：如图3。17-1,△ABC中,∠A=30°,AB∶AC=2∶ ,求证AC⊥BC。分析 本题即是求证△ABC为直角三角形是∠C=90°。可考虑用勾股定理逆定理。因而要设法求出BC边。可考虑作AB边上的高,将△ABC分为两个直角三角形,Rt△ACD和Rt△BCD,再利用勾股定理及已知条件求出BC的长。证 ∵AB＞AC ∠C＞∠B∴作CD⊥AB于D。设AB=2k,则AC= k(k＞0),在Rt△ACD中,∠A=30° AC= k。∴AD= k,CD= k AB=2k∴BD= k。在Rt△BCD中 BC2=CD2+DB2=k2 ∴BC=k∴BC∶AB∶AC=1∶2∶ BC2+AC2=k2+( k)2=4k2=AB2∴△ACB为直角三角形 ∴AC⊥BC。常见问题5:勾股定理的逆定理3问题：求证：边长为m2-n2,m2+n2,2mn(m＞n)的三角形是直角三角形分析 只需证明最长边的平方等于另两边平方和即可,∵（m-n）2≥0,∴m2+b2≥2mn,m2+n2≥m2-n2,∴m2+n2为最长边。证 (m2+n2)2=m4+2m2n2+n4(m2-n2)2+(2mn)2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+2m2n2+n4∴(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2∴所构成三角形为直角三角形。常见问题6:勾股定理的逆定理4问题：如图3。17-2,四边形ABCD中,BA⊥DA,BA=2,DA=2 ,DC=3,BC=5,求∠ADC。图3。17-2分析 利用已知Rt△ABD,求出BD的长和∠ADB的度数,再验证△BDC为直角三角形且∠BDC=90°是解决本题的基本思路。解 连BD,∠A=90°,BA=2,DA=2 ∴BD=4。∠ADB=30°,又DC=3,BC=5∴BD2+DC2=32+42=52=BC2。∴△BCD为直角三角形,∠BDC=90°∴∠ADC=90°+30°=120°。常见问题7:勾股定理的逆定理5问题：已知三角形ABC中,AD为中线,M在AB上,N在AC上,∠MDN=90°,若BM2+CN2=DM2+DN2,求证AD2= (AB2+AC2)(图3。17-3)图3。17-3分析 将中线延长一倍,从而将分散的各线段集中到一起,以便充分利用条件,是本题之关键,又由结论的式子结构看,若∠BAC=90°,则AD= BC= ,则要证的结论显然成立。证 延长BD至E,使BD=DE。连CE,NE,NM,则△BMD≌△CED。BM=CE,又DN⊥ME,MD=DE∴MN=NE。DM2+DN2=MN2 ∴DM2+DN2=NE2又DM2+DN2=BM2+CN2=EC2+CN2=NE2∴∠ECN=90° △BMD≌△CED。∠B=∠BCE ∴AB‖CE。∴∠BAC=90°,AD为中线,AD= BC。AD2= BC2= (AB2+AC2)。常见问题8:勾股定理的逆定理6问题：正△ABC的边长为 ,P为形内一点,PC=5。且PA2+PB2=25,求PA,PB。(图3。17-4)分析 将三角形内的点与顶点构成的三角形经过适当的旋转,转到形外,而将PA、PB、PC集中到一个三角形来解决问题,是常用方法之一。解 将△APB绕B点顺时针旋转60°,得△BP′C,则△ABP≌△CBP′PB=P′B ∠PBP′=60° ∴PP′=PB,又P′C=PA。PA2+PB2=25 PC=5∴PP′2+P′C2=25=52=PC2 ∴∠PP′C=90°又∠PP′B=60°∴∠BP′C=150°,设PA=P′C=x,PB=P′B=y。过B作BD⊥CP′交CP′延长线于D。∴∠BP′D=30° ∴BD= ,P′D= y。在Rt△BDC中BD2+DC2=BC2∴（ ）2+( y+x)2=BC2=25+12 。∴x2+y2+ xy=25+12 又x2+y2=25。∴xy=12。(x+y)2=25+24=49 ∴ 或(x-y)2=25-24=1∴ 或∴PA,PB的长为3,4。你去这个网站http://cache。baidu。com/c?word=%B9%B4%B9%C9%3B%B6%A8%C0%ED%3B%C4%E6%3B%B6%A8%C0%ED&url=http%3A//www%2Etjjy%2Ecom%2Ecn/pkuschool/teacher/its/chu2/sx/1/3%2E14%2D3%2Ehtm&b=0&a=169&user=baidu