应该承担什么责任

他们双方只对孩子负有法定的抚养义务，而不论孩子跟谁的姓或落谁的户。从有利孩子考虑，我建议还是配合男方给孩子上了户口为好。

从有利于孩子的成长环境来说，女方应配合男方为他们所生的孩子落实好上户口问题，至于麻烦的问题，我认为从他们未领取结婚证及办理准生证的情况下即生育子女的时候，法律上的麻烦即已产生了，因此，现在解决问题的关键就在于如何解决麻烦而不是讨论麻烦，所以，男方的想法是对的，落实好了子女的户口问题，男女双方还得就同居期间的财产问题以及日后子女的抚养问题达成协议，并本着对孩子的将来负责和对自己的法律义务负责的态度，认真及时的履行协议，这样才能从根本上解决问题。 希望这样的事情不再发生。

他们双方只对孩子负有法定的抚养义务，而不论孩子跟谁的姓或落谁的户。从有利孩子考虑，我建议还是配合男方给孩子上了户口为好。