设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,求|A*|以及|A^2-2A+E|

此题考查特征值的性质用常用性质解此题:1。A的行列式等于A的全部特征值之积所以 |A| = -1*1*2 = -22。若a是可逆矩阵A的特征值,则 |A|/a 是A*的特征值所以A*的特征值为 2,-2,-1所以|A*| = 2*(-2)*(-1) = 4。注:当然也可用伴随矩阵的行列式性质 |A*| = |A|^(n-1) = |A|^2 = (-2)^2 = 4。3。若a是可逆矩阵A的特征值,则对多项式g(x),g(a)是g(A)的特征值这里 g(x) = x^2-2x+1,g(A)=A^2-2A+E所以 g(A)=A^2-2A+E 的特征值为 g(-1),g(1),g(2),即 4,0,1所以 |A^2-2A+E| = 4*0*1 = 0