如何用正弦定理证明余弦定理 如何用余弦定理证明正弦定理

第一个问题：∵A＋B＝180°－C,∴sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB,－cosC＝cos（A＋B）。∴（sinC）^2＝（sinAcosB）^2＋2sinAcosBcosAsinB＋（cosAsinB）^2＝（sinA）^2［1－（sinB）^2］＋［1－（sinA）^2］（sinB）^2＋2sinAcosBcosAsinB＝（sinA）^2－（sinAsinB）^2＋（sinB）^2－（sinAsinB）^2＋2sinAcosBcosAsinB＝（sinA）^2＋2sinAsinB（cosAcosB－sinAsinB）＋（sinB）^2＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcos（A＋B）＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcosC。∴（2RsinC）^2＝（2RsinA）^2＋（2RsinB）^2＝2（2RsinA）（2RsinB）cosC。由正弦定理,有：a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R,∴a＝2RsinA、b＝2RsinB、c＝2RsinC,∴c^2＝a^2＋b^2－2abcosC。同理可证：a^2＝b^2＋c^2－2bccosA、b^2＝a^2＋c^2－2accosB。第二个问题：∵a^2＝b^2＋c^2－2bccosA、b^2＝a^2＋c^2－2accosB,两式相减,得：a^2－b^2＝b^2－a^2－2bccosA＋2accosB,∴2（a^2－b^2）＝2c（acosB－bcosA）,∴c＝（a^2－b^2）/（acosB－bcosA）,∴a^2＝b^2＋［（a^2－b^2）/（acosB－bcosA）］^2　－2b［（a^2－b^2）/（acosB－bcosA）］cosA,∴（a^2－b^2）（acosB－bcosA）^2＝（a^2－b^2）^2　－2b（a^2－b^2）（acosB－bcosA）cosA,∴a＝b,或（acosB－bcosA）^2＝a^2－b^2－2b（acosB－bcosA）cosA。一、当a＝b时,自然有：a/sinA＝b/sinB。二、当（acosB－bcosA）^2＝a^2－b^2－2b（acosB－bcosA）cosA时,得：　　（acosB）^2＋（bcosA）^2－2abcosAcosB＝a^2－b^2－2abcosAcosB＋2（bcosA）^2,　　∴a^2［1－（cosB）^2］＝b^2［1－（cosA）^2］,　　∴（asinB）^2＝（bsinA）^2,∴asinB＝bsinA,∴a/sinA＝b/sinB。综合一、二,得：a/sinA＝b/sinB。同理可证：a/sinA＝c/sinC。∴a/sinA＝b/sinB＝c/sinC。