如何证明相对论?

狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度。) (一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。(此处先给出公式再给出证明) (二)洛仑兹坐标变换：X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) (三)速度变换：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2)) (四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ (五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ (六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b) (光源与探测器在一条直线上运动。) (七)动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm。(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt (九)质能方程：E=Mc^2 (十)能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2 (注：在此用两种方法证明,一种在三维空间内进行,一种在四维时空中证明,实际上他们是等价的。) 三：三维证明：(一)由实验总结出的公理,无法证明。(二)洛仑兹变换：设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止,(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处,x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1)。又因在惯性系内的各点位置是等价的,因此k是与u有关的常数(广义相对论中,由于时空弯曲,各点不再等价,因此k不再是常数。)同理,B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知,两个惯性系等价,除速度反向外,两式应取相同的形式,即k=K。故有X=k(x-ut),(2)。对于y,z,Y,Z皆与速度无关,可得Y=y,(3)。Z=z(4)。将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5)。(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时,由重合点发出一光信号,则对两系分别有x=ct,X=cT。代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u)。两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ。将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) (三)速度变换：V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2)) =(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2) =(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 同理可得V(y),V(z)的表达式。(四)尺缩效应：B系中有一与x轴平行长l的细杆,则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标),则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ (五)钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知,t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量),故△t=γ△T。(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时,是不随坐标变换而变的客观量。) (六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b)。) B系原点处一光源发出光信号,A系原点有一探测器,两系中分别有两个钟,当两系原点重合时,校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N,B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知,A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1)。探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2)。相对运动不影响光信号的波数,故光源发出的波数与探测器接收的波数相同,即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3)。由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)。(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时,γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系,β=v/c) 牛二在伽利略变换下,保持形势不变,即无论在那个惯性系内,牛二都成立,但在洛伦兹变换下,原本简洁的形式变得乱七八糟,因此有必要对牛顿定律进行修正,要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。牛顿力学中,v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变,（旧坐标系中为（x,y,z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv,将v替换为V,可修正动量,即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv。这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算） (八)相对论力学基本方程：由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式,虽与牛二的形式完全一样,但内涵不一样。（相对论中质量是变量） (九)质能方程：Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv =Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mc^2-mc^2 即E=Mc^2=Ek+mc^2 (十)能量动量关系：E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2 四：四维证明：(一)公理,无法证明。(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔,dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1)。则对光信号dS恒等于0,而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2〉0称类空间隔,dS^2